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確率変数（random variable）は、ある現象が複数の値を取り得る場合に、その取り得る値全体を表す数学的概念である。これは、どのような値を取るかが個別には決まっていないものの、取り得る値やその範囲、さらにその値を取る確率または確率密度が定まっている数である。確率変数は、確率論や統計学において非常に重要な役割を果たしており、現実の不確定な現象を数学的にモデル化し、その結果を解析するための基本的な枠組みを提供する。確率変数は一般に大きく離散型と連続型の二つに分類され、それぞれ異なる特性と用途を持つ。離散型確率変数は、取り得る値が有限または可算無限個の場合に用いられる。一方、連続型確率変数は、取り得る値が連続的な範囲を持つ場合に用いられる。例えば、離散型の例として、さいころを振ったときの出目を考えることができる。この場合、確率変数はと表され、取り得る値は1から6までの整数である。さらに、それぞれの値が出る確率は均等であり、すなわち各値について確率が1/6となる。また、偶数の目が出る確率を考える場合、この事象は「2、4、6」のいずれかが出る場合と対応し、その確率は3/6、すなわち1/2となる。このように、離散型確率変数は明確に数え上げられる取り得る値と、それに対応する確率の分布を持つ。一方、連続型確率変数の例としては、気温や身長のような物理量を挙げることができる。例えば、ある日の気温が摂氏15度から25度の範囲にある場合、その値を確率変数とみなすことができる。この場合、取り得る値は連続的であり、具体的な値が取られる確率は通常0となるため、確率密度という概念を用いて解析する。この確率密度関数（probability density function, PDF）は、確率変数が特定の範囲にある確率を計算するために使用される。たとえば、気温が摂氏18度から22度の範囲にある確率を求める場合、PDFをこの範囲で積分することによって結果が得られる。確率変数の性質を記述するためには、分布関数（distribution function）という概念も重要である。これは、確率変数がある値以下である確率を示す関数であり、累積分布関数（cumulative distribution function, CDF）と呼ばれる。離散型確率変数においては、各値の確率を累積的に加算することで得られ、連続型確率変数においては、PDFを特定の範囲で積分することで得られる。確率変数の基本的な特徴を把握する上で、期待値（expected value）や分散（variance）も重要な概念である。期待値は確率変数の「平均的な値」を表し、離散型の場合は各値にその確率を掛けて足し合わせることで計算される。連続型の場合は、PDFと確率変数を掛けた積を積分することで求められる。一方、分散は確率変数が期待値からどの程度散らばっているかを示す尺度であり、離散型の場合は各値と期待値の差の二乗に確率を掛けて足し合わせることで計算される。連続型の場合は同様に積分を用いて求められる。これらの指標は、確率変数の分布の特性を簡潔に要約し、統計解析における基礎となる。また、確率変数は独立性や共分散といった概念を通じて、複数の変数間の関係を解析するためにも用いられる。たとえば、二つの確率変数が独立である場合、一方の値が他方に影響を与えないことを意味する。この性質は、統計モデリングや機械学習において非常に重要である。一方、共分散は二つの確率変数の間にどのような線形関係があるかを示す尺度であり、正の値であれば正の相関、負の値であれば負の相関を意味する。これを標準化したものが相関係数であり、-1から1の範囲で値を取り、変数間の関係の強さと方向を示す。確率変数の応用は広範囲にわたり、単なる数学的な概念にとどまらず、自然科学、工学、経済学、医学など多くの分野で現実世界の複雑な現象をモデル化し、分析するために活用されている。例えば、医療分野では、新薬の効果を評価するための臨床試験において、確率変数が被験者の治療反応を表す場合がある。この場合、離散型確率変数として「効果あり」または「効果なし」といった二値変数が用いられることもあれば、連続型確率変数として血圧の変化量や腫瘍サイズの縮小率が扱われることもある。同様に、経済学では、株価の変動や企業の収益といった現象が確率変数としてモデル化される。これらの現象は、通常、複数の要因が絡み合った結果として生じるため、確率変数間の依存関係や多次元分布の解析が必要となる。このように、確率変数の概念は、現実世界の不確定性を数学的に捉えるための強力なツールであり、その応用範囲と重要性は極めて広い。