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幾何分布（geometric distribution）は、成功確率p のベルヌーイ試行を独立に繰り返し行ったとき、初めて成功するまでの試行回数を確率変数X とする確率分布である。成功確率が小さいほど分散が大きくなるため、成功するまでの回数にばらつきが生じやすいことがわかる。幾何分布の最大の特徴は「記憶なし性」と呼ばれる性質であり、過去の試行結果がその後の試行に影響を与えないことである。これは確率的な視点から見れば直感的であり、成功確率が一定であれば、どの時点から観察を開始しても成功するまでに要する試行回数の分布は変わらないことを意味する。具体的には、例えばある試行で失敗が続いたとしても、その後に成功する確率は依然としてp のままであり、過去の失敗が未来の成功確率に影響を与えることはない。この記憶なし性の性質により、幾何分布はさまざまな応用分野で活用される。例えば、営業活動において初めて成約が取れるまでの訪問回数や、ゲームにおける初めて勝利するまでの試行回数、機械が故障するまでの稼働回数、また医療現場では治療が効果を示すまでの試行回数をモデル化する際に用いられる。また、幾何分布は指数分布と密接に関連しており、指数分布が連続型確率分布における記憶なし性を示すのに対し、幾何分布は離散型確率分布における記憶なし性を示している。確率論の基礎においては、離散型と連続型の分布における記憶なし性がそれぞれ幾何分布と指数分布によって表されることは重要な概念である。さらに、幾何分布はデータ解析やシミュレーションにおいても重要な役割を果たしている。例えば、ある事象が一定の確率で発生する状況下で、その事象が初めて観測されるまでの過程をシミュレートする際に幾何分布が用いられる。また、累積分布関数を利用することで、初めて成功するまでの試行回数がある値以下になる確率を容易に求めることができるため、統計的な推定や信頼区間の構築にも活用される。具体的には、例えば「成功するまでに5回以内に達成できる確率」を知りたい場合、累積分布関数を利用すればその確率を迅速に計算することができる。幾何分布はそのシンプルさゆえに教育分野でもよく扱われ、確率論や統計学を学ぶ上で基本的な分布として位置付けられている。また、ベイズ統計学においても幾何分布は重要な要素となる。例えば、成功確率p の事前分布としてベータ分布を仮定した場合、観測データが幾何分布に従うとき、事後分布の推定や尤度関数の計算においてベータ分布と幾何分布が連携して用いられる。このように、幾何分布は単なる理論的な確率分布にとどまらず、実務的な問題解決や統計解析に広く適用されている分布である。特に、試行が独立かつ同一の確率で繰り返されるような状況では、成功までの回数をモデル化するための最適な選択肢の一つとなる。また、離散確率分布の中でも幾何分布は計算がシンプルであるため、シミュレーションやデータ生成にも適しており、コンピュータによるモンテカルロ法や乱数生成の際にも頻繁に用いられる。さらに、幾何分布は他の確率分布との関連性も深い。例えば、負の二項分布は幾何分布を一般化したものであり、特定の回数の成功が得られるまでに必要な試行回数をモデル化する際に用いられる。負の二項分布では成功回数が2回、3回と増えることにより、幾何分布がその特殊なケースとして位置付けられる。このように幾何分布は確率論の中で基本的な役割を果たし、より複雑な分布の理解にもつながる重要な概念となっている。