離散型分布：確率変数が離散値

確率変数Xの値が有限個または可算無限個の離散値のみをとるとき、Xを離散型確率変数とよびその分布を離散型分布といいます。

離散型分布の確率関数は、fx(xk)=P(X=xk), k=1, 2, ・・・

によって与えられます。

代表的な離散型分布に以下があります。

ベルヌーイ分布

コインを１枚投げた結果（表か裏）やある病気にかかっているか否かなど、結果が２通りの場合の分布が当てはまります。

ベルヌーイ分布の確率関数は、

fx(k)=pk(1−p)1-k, k=0,1

で与えられます。

ベルヌーイ分布の平均はp、分散はp(1−p)です。

二項分布

サイコロをｎ回投げたとき１の目が出る回数や、ある病気にかかっているｎ人の患者に薬を投与したとき、その病気が治った人数などの分布が当てはまります。

二項分布の確率関数は、fx(k)=nCkpk(1−p)n-k, k=0, 1, ・・・,n

で与えられます。

二項分布の平均はnp、分散はnp(1−p)です。

例えば、表の出る確率が0.3のコインを20回投げたときの表が出る回数Xの分布は図のようになります。

ポアソン分布

二項分布でnp=λ（一定）、ｎが大きい（すなわちpが小さい）ときポアソン分布に近づきます。

交通事故件数などがこの分布にしたがうことが知られています。

確率関数は、fx(k)＝exp(−λ)λk／k! k=0, 1, 2, ・・・

で与えられ、λは正の定数です。

ポアソン分布の平均はλ、分散もλです。

幾何分布

１枚のコインを繰り返し投げるとき、初めて表が出るまでに出た裏の回数などの分布が当てはまります。

確率関数は、fx(k)＝p(1−p)k, k=0, 1, 2, ・・・

で与えられます。幾何分布の平均は(1-p)/p、分散は(1-p)/p2　です。

例えば、サイコロ投げにおいて、初めて６の目が出るまで投げ続けたとき、６以外の目が出た回数Xの分布は幾何分布になります。

負の二項分布

１枚のコインを繰り返し投げるとき、ｒ回目の表が出るまでに出た裏の回数などの分布が当てはまります。

確率関数は、fx(k)=r+k-1Ckpr(1−p)k, k=0, 1, 2,・・・

で与えられます。

負の二項分布の平均はr(1-p)/p、分散はr(1-p)/p2です。

例えば、表の出る確率が0.4のコインを繰り返し投げるとき、10回目の表が出るまでに出た裏の回数Xの分布は図のような負の二項分布になります。

超幾何分布

例えば箱の中にN個のボールがあり、そのうちのM個は白いボールであり、N−M個は赤いボールであるとします。

この箱の中からｎ個のボールを取り出したとき、その中に含まれる白いボールの数の分布が超幾何分布です。

確率関数は、fx(k)=MCkN=MCn-k／NCn

超幾何分布の平均はnM/N、分散はnM(N−M)(N−n)／[N2(N−1)]です。

例として、全部で100本あるくじのうち25本が当たりであるとき、20本くじを引く（ただし、引いたくじは戻さない）とその中に含まれている当たりくじの本数Xの分布は図のようになります。

多項分布

互いに排反な事象A1, ・・・,Amで事象Aiが起こる確率をpiとしたとき、ｎ回の試行で事象Aiがki回（i=1, 2, ・・・,m）起こる確率分布です。

確率関数は、fx(k1, k2, ・・・,km)＝n!／k1!k2!・・km!×p1k1p2k2・・pmkm

で与えられます。ここに、k1+・・・+km=n, p1+・・・+pm=1 です。

多項分布においては、Xiの平均はnpi、分散はnpi(1-pi) となります。

ChatGPTに聞いてみた

プロンプト

あなたは最高のデータサイエンティストです。
いろいろな確率分布について解説してください。
#制約条件：
サルでもわかる平易な日本語で
文字数は300字程度

ChatGPTの回答

確率分布とは、ある事象が起こる確率を表す方法です。いろいろな確率分布がありますが、ここでは代表的なものを簡単に説明します。
一様分布:
すべての事象が同じ確率で起こる分布です。例えば、公平なサイコロを振ったとき、1から6までの目が出る確率は同じです。
二項分布:
成功か失敗かの2択の結果が出る実験を何回も繰り返したときの分布です。例えば、コインを10回投げて、表が出る回数は何回か、という問題に使います。
正規分布:
平均値の周りにデータが集まり、左右対称のベル形のカーブを描く分布です。成績や身長など、自然界や社会でよく見られます。
ポアソン分布:
一定の時間や空間内で発生する事象の数に関する分布です。例えば、1時間にある電話が鳴る回数などに使われます。
これらの分布は、データがどのような特徴を持っているかを理解するのに役立ちます。例えば、データが正規分布している場合、平均値や標準偏差でその特性をよく表すことができます。確率分布を理解することで、データの背後にあるストーリーを読み解く手がかりを得ることができます。