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平均への回帰の例

ある量を経時的に追いかけることを考えよう。

ビジネスの業績，ある患者の血圧など，時間が経つにつれて変化するものなら何でもかまわない。

日付を１つ決めて，そのときに目立つ対象をすべて選ぼう。

最高の収益を得ている部類のビジネス，最も高血圧となっている部類の患者といったものだ。

こうした対象を次に測定したとき，何か起きるだろうか。

確かに最もうまくやっているビジネス、慢性的高血圧の患者はすべて選んでいる。

だが，通常ではありえないくらい運がよかった四半期を経験したビジネスや，特にストレスが強い週を経た患者も選んでしまっている。

こうした幸運な対象や不幸な対象は永遠に例外的な状況にとどまるわけではないだろう。

こうした対象を数か月後にまた測定すれば，通常の状況に戻っているはずだ。

この現象は，平均への回帰(regression to the mean)と呼ばれる。

これは血圧やビジネスに限られた特別な性質ではない。

これは，幸運は永遠に続かないということを述べたに過ぎない。

平均的に言えば，個々人の運は平均的なのだ。

フランシス・ゴルトンはこの現象を早くも1869年に確認している。

ゴルトンは，著名で傑出した人々の家系をたどった際に，著名な人々の子孫は著名でなくなる傾向があることに気づいた。

著名人の子どもは，親を著名にした音楽や知能に関する卓越した遺伝子を引き継いだかもしれないが，親と同じぐらい著名であることはまれだった。

後の調査で，身長にも同様のふるまいがあることが明らかになった。

並外れて背の高い親から生まれた子どもは親よりも平均的な身長になっていたし，並外れて背の低い親から生まれた子どもは通常親よりも高い身長になっていた。

血圧の例に戻ろう。

高血圧の患者を抽出して，実験的な薬を試すとする。

血圧が高くなっているように見える理由にはさまざまなものがある。

例えば，遺伝子が悪いのかもしれないし，普段の食事が悪いのかもしれないし，日取りが悪いりかもしれない。

あるいは測定誤差かもしれない。遺伝子や普段の食事はほとんど変化しないものだが，他の要因は測定された血圧が日ごとに変わる原因となりえる。

高血圧の患者を抽出したとき，そうした患者の多くが，単に日取りが悪かったか，血圧を測るときに腕に巻き付ける布である加圧帯が正しく調整されていなかっただけだったという可能性もある。

遺伝子は一生つきまとうものだが，正しく調整されていない加圧帯はそうではない。

運の悪かった患者の運は，その患者の治療が行われたかどうかに関係なく，すぐにまずまずのところまで回復する。

この実験は，単に被験者を選ぶ際に使った基準によって，血圧改善の効果を発見する方向に偏ることになる。

治療の効果を正確に推定するには，治療を行う処置群と治療を行わない統制群に標本をランダムに分ける必要がある。

処置群の血圧改善の平均が，統制群よりも相当良いものだったときにだけ，治療が功を奏したと主張できるのだ。

平均への回帰のもう１つの例がテストの得点だ。

検定力についての章で，個々の生徒の運が学校の結果の平均に大きな影響を与えるような小規模の学校では，ランダム変異が大きいことについて論じた。

このことは，生徒の良さ，教師の良さ，そして運の良さが組み合わさった成績の最も良かった学校において，次年度の成績低下が予想されることを意味する。

こうなるのは，単に幸運というものが一瞬のものであるためだ。

不運についても同様だ。

成績の最も悪かった学校は次年度の改善が予想される。

このことは，学校の管理者にとっては自らの介入が功を奏したと納得させるものになるだろうが，実際には単に平均への回帰が起きただけに過ぎないのかもしれない。

最後に, 1933年という数理統計学の幼年時代にさかのぼる有名な例を挙げよう。

ホレス・シークリストというノースウェスタン大学の統計学の教授が，『ビジネスにおける平凡さの勝利』という本を出版し，非常に成功したビジネスはあまり成功しないようになる傾向があり，成功しなかったビジネスは成功するようになる傾向があるということについて論じた。

つまり，ビジネスは平凡に向かう傾向があるということを示したのだ。

シークリストの議論によれば，これは統計による仮構の存在ではなく，競争市場の力が作り出したものだという。

シークリストは，大量のデータと多数の図を使用しただけでなく，ゴルトンの平均への回帰に関する業績までも引いて，自分の議論を立証しようとした。

明らかにシークリストはゴルトンの論点を理解していなかったのだ。

シークリストの本は，｢ジャーナル・オブ・ジ・アメリカン・スタティスティカル・アソシエーション｣で，ハロルド・ホテリングという影響力の大きな数理統計学者によって批評された。

ホテリングは，誤謬を指摘した上で，同じデータを使ってビジネスは平凡から離れていく傾向にあることを簡単に示せると述べた。

最も良かったビジネスとその後の衰退を取り出すかわりに，最も良くなる前の成長を追うのだ。

そうすれば，決まって成長していることが分かるだろう。

シークリストの議論は「本当は，問題となっている比率がふらつく傾向があるということ以外，何も示していない」のだ。

平均への回帰とは、時間経過とともに変化する量において、極端な結果が再び測定されるときには平均に近づく傾向がある現象を指します。これを理解するためには、まずどのような状況で平均への回帰が起きるのかを見ていく必要があります。例えば、ビジネスの業績や患者の血圧といった経時的に変化する指標を追跡する場合を考えてみましょう。ある特定の日に、最高の収益を得ているビジネスや最も高血圧な患者を選び出したとします。この際、何が起きるでしょうか。実際には、選ばれた対象の中には本当に優秀で成功を収めている企業や、遺伝的または持続的な要因で血圧が高い患者が含まれています。しかし、注意しなければならないのは、これらの対象の中にその瞬間だけ異常なほど運が良かった企業や、たまたまストレスの強い週を経験したために血圧が非常に高くなった患者もいるということです。このような特異な状況は永続的に続くものではなく、再び測定が行われるときには、通常は平均的な状態に戻ることがほとんどです。この現象を平均への回帰（regression to the mean）と呼びます。この現象は、血圧やビジネス成績だけでなく、さまざまな場面で観察される一般的な統計的現象です。この現象は、基本的に「運は永遠には続かない」ということを意味しています。すべての個々のデータポイントやイベントは、平均的なパターンの中に収束していくという考えです。つまり、どれほど優れた結果や極端な状況であっても、時間が経つとその影響は薄れ、平均的な結果へと戻る傾向があります。フランシス・ゴルトンはこの現象を1869年に初めて確認しました。彼は、著名な人物の子孫を追跡した際に、著名な人々の子どもたちは、親ほど傑出した存在になることが少ないことに気づきました。例えば、親が音楽や知能において非常に高いレベルにあったとしても、その遺伝子を引き継いだ子どもが同等に著名になることは稀でした。同じ現象は、後に身長に関する研究でも確認されました。非常に背の高い親の子どもは、親ほど背が高くない、つまり平均的な身長に近づく傾向があり、逆に非常に背の低い親から生まれた子どもは親よりも高くなる、すなわちこれも平均への回帰が見られたのです。血圧に関する例に戻りましょう。高血圧の患者を選び出して、新しい薬の実験を行うとします。患者が高血圧になっている理由は多岐にわたり、遺伝的要因や日常の食生活の問題、あるいはその日の測定条件に左右されることがあります。例えば、その日に限って測定誤差が生じたり、血圧計の加圧帯が正しく調整されていなかったりすることが原因で異常な数値が記録されることもあるでしょう。遺伝的要因や普段の食事は長期間変化しにくいものですが、測定誤差や一時的な要因は結果に変動をもたらします。こうした一時的な変動が含まれているため、高血圧の患者を選んで数か月後に再度測定を行うと、単なる偶然で高い数値を示した患者は平均的な血圧に戻っていることが多いのです。これにより、薬の治療が実際に効果を発揮していない場合でも、治療が効果的であったと誤って判断されることがあります。治療の効果を正しく評価するためには、ランダムに選ばれた標本を治療を行う処置群と治療を行わない統制群に分け、両群を比較することが重要です。こうすることで、治療が真に効果を発揮しているかどうかを判断できます。もし、処置群の血圧改善の平均が統制群よりも著しく優れている場合のみ、治療が有効だったと結論付けることができるのです。この平均への回帰は、血圧測定以外にもさまざまな場面で見られます。例えば、学校のテストの得点においても同様です。学校の成績が高い生徒や学校を特定の日に選ぶと、その成績が次回の測定時には平均に近づく傾向があります。これは、学校や生徒の成績が生徒の努力や教師の指導力、その他の環境的要因に加え、一時的な運の要素に大きく左右されるためです。たとえば、小規模な学校では、個々の生徒のパフォーマンスが学校全体の成績平均に大きな影響を与えるため、ランダムな変動が顕著に表れます。このような学校がある年に非常に優れた成績を収めると、翌年にはその成績が平均に戻ることが期待されます。逆に、成績が非常に悪かった学校は次の年に成績が改善される可能性があります。これらは、幸運や不運が持続しないという平均への回帰の性質を示しています。学校の管理者は成績が悪かった学校が翌年に改善した場合、自らの施策や介入が効果を発揮したと考えるかもしれませんが、実際には単なる平均への回帰が起きているだけであることも多いのです。さらに、統計学において有名な例の一つとして、1933年にノースウェスタン大学の統計学教授ホレス・シークリストが出版した『ビジネスにおける平凡さの勝利』という本があります。この本でシークリストは、ビジネスの成績が非常に成功した企業はその後平凡になる傾向があり、逆に成功していなかった企業が成功に向かう傾向があると論じました。シークリストは、多くのデータと図を用いて、ビジネスが最終的には平均に収束するということを証明しようとしました。しかし、この議論は誤解を招くものでした。影響力のある数理統計学者ハロルド・ホテリングは、『ジャーナル・オブ・ジ・アメリカン・スタティスティカル・アソシエーション』でこの本を批評し、シークリストの主張に含まれる誤謬を指摘しました。ホテリングは、同じデータを用いて、ビジネスが平凡に向かうのではなく、逆に平凡から離れていくことを簡単に示せると述べました。具体的には、最も良いビジネスの成績がその後に衰退していくデータを分析するのではなく、最も良くなる前の成長過程を追うことで、ビジネスが実際に成長していることが確認できると説明しました。このことから、シークリストの主張は本当の意味での平均への回帰を示すものではなく、単に「対象が極端な値から揺れ動く傾向がある」ということに過ぎないということを示しました。平均への回帰は、統計学においてしばしば理解されにくい概念ですが、調査や実験を行う際に無視することはできません。