宝くじと封筒の謎: 期待値で解く決断の科学【ChatGPT統計解析】
期待値は統計学において重要な意思決定指標であり、宝くじやギャンブルのような不確実な状況下での選択を導くものです。例えば、宝くじでは、賞金の期待値が購入価格を下回るため、多く購入すればするほど損失が増えると考えられます。また、二つの封筒問題では、一方の封筒には他方の2倍の金額が含まれており、理論的には封筒を変えることで期待値を高めることができますが、高額な金額になると人々は理論よりも安全性や確実性を重視する傾向があります。期待値は理論的な指標でありながら、実際の意思決定ではリスク許容度や個人の価値観も大きく影響します。
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期待値：意思決定の指標
宝くじは、たくさん買った方が、１億円が当たる確率が高まるので、たくさん買ったほうがよいという人がいます。
しかし、果たしてそれは本当でしょうか。
例えば、以下の簡単な例で考えてみます。合計１００本のくじがあり、賞金は以下であるとします。
賞金１０００円 ２本
賞金１００円 １０本
賞金０円 ８８本
賞金総額は全部で、１０００×２＋１００×１０＝３０００円です。
１００本で３０００円ですから、１本あたり３０円の賞金獲得が期待できるという計算になります。
あくまで期待できるという話で、１本買えば必ず３０円が手に入るという保証はありません。
しかし、たくさん買えば、１本あたり３０円程度の見返りは期待してよいでしょう、ということになります。
この３０円のことを期待値といいます。
宝くじに限らず、あらゆるギャンブルはこの期待値を考える必要があります。
期待値を意思決定の指標にしましょう。
購入単価と期待値の関係
購入単価＜期待値 ⇒ 買えば買うほど得をする
購入単価＞期待値 ⇒ 買えば買うほど損をする
ということになります。
さて、問題の宝くじですが、１枚３００円の宝くじの期待値は、約１４０円といわれています。
つまり、宝くじは買えば買うほど損をするのでしょう。
運よく１億円が当たる人は確かにいます。
だからといって自分もそうなるとは限りません。
３００円といえども大切なお金です。
冷静に期待値を考えて買うか買わないか判断するようにしましょう。
では次の場合はどう考えたらよいでしょうか。
賞金の入った２つの封筒があるとします。
一方には、他方の２倍の金額が入っています。今、１つの封筒を選択したら１００００円入っていました。
大金なので喜んでいたら、「今選んだ封筒を止めて、もう一方の封筒に変えてもいい」と言われました。
さて、あなたならどうしますか。統計学的に考えてみましょう。
①封筒を変える
②封筒を変えない
さて、片方の封筒には他方の２倍の金額が入っているので、他方の封筒に入っているのは5000円か20000円です。
5000円なら損しますが20000円ならさらに得することになります。
ここで、封筒を変えた場合の期待金額を計算すると、
5000×0.5＋20000×0.5＝12500円 となります。
封筒を変えない場合の期待金額は10000円ですので、理論的には封筒を変えたほうが得ということになります。
これが１億円となると、5000万円か2億円かという話になりますが、まあ1億円がもらえれば、普通はリスクを負って変えることはしないでしょう。
高額になるほど実際には変えないと想像できます。
まとめ
期待値という統計学の概念を使用して、異なる意思決定シナリオを考察しました。
期待値は、各結果の確率とその結果の価値（または損失）を掛け合わせて足し合わせることによって計算されます。
これにより、ランダムな結果の平均的な結果を予測することができます。
宝くじの例
宝くじを買うことの期待値を考えるとき、あなたが購入する宝くじの枚数が多ければ多いほど、賞金を獲得する確率は高まりますが、それでも賞金の期待値が購入コストを下回っていれば、結局のところ買うほど損失が増えることになります。
例えば、宝くじの期待値が140円で、宝くじの価格が300円であれば、長期的に見れば購入するごとに損をすることになります。
封筒のパラドックス
二つの封筒の問題は、有名な確率論のパズルの一つであり、Two Envelope Paradoxとして知られています。
一方の封筒には他方の2倍の金額が入っており、あなたが最初に選んだ封筒に10000円が入っていた場合、理論的にはもう一方の封筒に変えることで期待値を高めることができます。
なぜなら、もう一方の封筒には5000円か20000円が入っており、その期待値は12500円になるからです。
しかし、この種の決断は、金額の絶対値や個人のリスク許容度に大きく影響されるため、実際には常に理論通りに行動するわけではありません。
期待値は確かに重要な意思決定ツールですが、実際の意思決定においては、リスクの偏見、可能な結果の範囲、そして個人の価値観や目標も考慮に入れる必要があります。
特に高額な金額になると、理論的な期待値よりも安全性や確実性を優先する人が多くなります。
ChatGPTに聞いてみた
プロンプト
あなたは最高のデータサイエンティストです。
期待値と意思決定について解説してください。
#制約条件：
サルでもわかる平易な日本語で
文字数は300字程度
ChatGPTの回答
期待値は、将来起こりうる事象の結果に、その事象が起こる確率を掛け合わせて合計したものです。これは、未来の不確実性のもとでの平均的な結果を示します。例えば、くじ引きで、100円を払って参加すると、10%の確率で1000円、90%の確率で0円がもらえるとします。このときの期待値は、1000円×0.10＋0円×0.90です。つまり、このくじ引きには平均して100円の価値があるということになります。意思決定において、期待値は非常に役立ちます。多くの選択肢があるときに、それぞれの選択がもたらす平均的な結果を比較することで、最も有益な選択をすることができます。しかし、期待値だけでなく、リスクや他の要因も考慮することが大切です。なぜなら、高い期待値を持つ選択肢でも、大きなリスクを伴う場合があるからです。簡単に言うと、期待値は未来の不確実な出来事に対して、平均的な結果を計算する方法であり、意思決定の際に有益な選択をするための一つの基準となります。
