算術平均（相加平均）と幾何平均（相乗平均）｜データが対数正規分布の場合は幾何平均【統計学・統計解析講義基礎】
最もよく使われるのは算術平均（相加平均）だが、必ずしも算出平均が妥当でない場合もある。データが対数正規分布の場合は幾何平均（相乗平均）を使う
目次 算術平均（相加平均）と幾何平均（相乗平均）｜データが対数正規分布の場合は幾何平均【統計学・統計解析講義基礎】
算術平均（相加平均）：必ずしも最適でない
売り上げ高を調べたら、昨年は一昨年の２倍であったとします。
また、今年は昨年の８倍あったとします。
さて、２年間の平均値は何倍といえるでしょうか。
①算術平均（相加平均）はデータの総和をデータ数で割ったものなので、年平均は（２＋８）÷２＝５倍となる。
②一昨年の２倍で、されにその８倍だから、今年は一昨年の１６倍である。したがって、年平均は、１６÷２＝８倍 となる。
③年平均４倍と考えれば、２年で４×４＝１６倍とちょうどなるので、４倍である。
さて、①の年平均５倍とすると、２年では５×５＝２５倍となります。
また、②の年平均８倍とすると、２年では８×８倍となるでしょう。
どう考えても大きく見積もりすぎです。
そこで、本当は何倍になるかを方程式を立てて考えます。
年平均をX倍とすると、２年後にはXの２乗倍になります。
これが２×８＝１６倍になるので、
Xの２乗＝１６ を計算すればよいことになります。
これを満たすXは４となります。
年平均４倍とすると、２年で４×４＝１６倍となるので納得できます。
平均値にはいくつかの種類があります。
最もよく使われるのは算術平均ですが、必ずしも算出平均だけではありません。
上の①のように、（２＋８）÷２＝５ という計算はまさに算術平均です。相加平均ともいいます。
この場合は、√（２×８）という計算が妥当ということになります。
つまり２つの数を掛け算してその平方根をとるという計算です。
幾何平均（相乗平均）
一般にｎ個の数を掛け算してそのｎ乗根をとって得られた平均を、幾何平均といいます。
相乗平均ともいいます。
先の例では幾何平均を使うべきである、といえます。
対数正規分布では幾何平均を使う
データが、１、１０、１００、１０００のように１０倍単位で激しく変わる分布を、対数正規分布といいます。
たとえば、ある企業で働く人の年収が仮に以下であるとします。
新入社員 １００万円
中堅社員 １０００万円
役員 １００００万円
社長 １０００００万円
このような分布は、対数正規分布といいます。
対数正規分布の場合、算術平均をとるとおかしなことになります。
上の例で、算術平均をとる、つまり全部足して４で割ると、２億円を超えます。
この企業は平均年収が２億円だ、と公表したら、入社したい社員が殺到するでしょう。
しかし、冷静に考えると算術平均を代表値とするのはよくありません。明らかに、社長の年収が外れ値となっています。
このような場合、幾何平均をとります。
つまり、全部掛け算をしてその４乗根をとります。
計算すると、約3160万円となります。高めではありますが、２億円に比べたら現実により近い値といえるでしょう。
一般に、算術平均≧幾何平均 という関係があります。
つまり幾何平均は算術平均よりも小さい値になります。
また、対数正規分布をとるデータの場合は、幾何平均を平均値とする、というのも覚えておきましょう。
幾何平均は、ExcelではGEOMEANという関数を使うと一発で計算することができます。
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