くじを２回引いて当たる確率

商店街のくじの抽選、いわゆるガラポン抽選で当たったことはありますか。

一等が当たれば運がいいですが、多くの場合、４等かはずれで、なかなか一等は当たらないものです。

さて、この抽選ですが、当たりくじを引く、つまり当たる確率が40％であるとします。

このくじを２回引くと、当たる確率は２倍の８０％になるでしょうか。

もしそうだとすると、３回引けば当たる確率は３倍の１２０％となり、必ず当たりくじを引くことができると計算上はなります。

しかし、それはちょっと考えにくいです。３回引いても運が悪いとすべてはずれ、ということもあり得ますからね。

「２回引いたとき当たる」とは何を意味しているのでしょう。

これを「２回までに当たりくじを引く」と考えてみることにします。

すると、次の２つに分類されます。

�@１回目に当たる。この確率は０．４

�A１回目に当たらず２回目に当たる。この確率は０．６×０．４＝０．２４

さて、�@と�Aは、一方が起れば他方は起りません。

「２回までに当たりくじを引く」確率は、�@と�Aを足して０．６４となります。つまり、６４％であり、８０％とはなりません。

確率の加法定理と乗法定理

確率の計算では、次の２つの定理が基本になります。

（１）２つの事柄AとBがあり、一方が起れば他方は起らないものとします。

このとき、AかBの少なくとも一方が起る確率は、各々の確率を単純に足せばよいのです。これを確率の加法定理といいます。

（２）２つの事柄AとBがあるとき、AとBが同時に起る確率は、Aの起る確率に、Aが起きたときにBの起る確率を掛ければよいのです。

これを確率の乗法定理といいます。

つまり、２回ともはずれの確率は、０．６×０．６＝０．３６となります。

したがって、少なくとも一方が起る確率は、１−０．３６＝０．６４　と考えてもよいわけです。

まとめ

確率の加法定理と乗法定理を用いて、くじを２回引いて少なくとも一度当たる確率を考察します。

加法定理によれば、互いに排他的な２事象の確率は、それぞれの確率の和で求められます。

乗法定理では、２事象が連続して起こる確率は、最初の事象の確率とその事象が起こった上での次の事象の条件付き確率を掛け合わせることで求めます。

確率の加法定理とは、２つの事象AとBがあり、一方が起こると他方は起こらないとき、AまたはBの少なくとも一方が起こる確率は、それぞれの確率の和で求められるというものです。

これは排他的事象にのみ適用されます。

確率の乗法定理は、２つの事象AとBがあり、Aが起こった後にBが起こる確率を求める場合に使用されます。

AとBが独立していない場合、つまりAの起こる確率がBに影響を与える場合、Aが起こる確率とAが起こった上でBが起こる条件付き確率を掛け合わせることで、両者が同時に起こる確率を求めます。

例えば、くじを２回引いて少なくとも一度当たる確率を計算する場合、１回目に当たる確率が0.4、１回目に当たらず２回目に当たる確率が0.6（１回目にはずれる確率）×0.4（２回目に当たる確率）= 0.24です。

これらを足し合わせると、少なくとも一回は当たる確率が0.64となります。

一方、２回ともはずれる確率は、１回目にはずれる確率と２回目にはずれる確率を乗じたもの、つまり0.6×0.6=0.36となります。

したがって、少なくとも一方が当たる確率は1から２回ともはずれる確率を引いたもの、つまり1-0.36=0.64となり、これも先ほど計算した結果と一致します。

ChatGPTに聞いてみた

プロンプト

あなたは最高のデータサイエンティストです。
確率の加法定理と乗法定理について解説してください。
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ChatGPTの回答

確率の加法定理と乗法定理は、確率を計算するときにとても便利です。まず、加法定理ですが、これは2つのイベントが起こる確率を合わせる方法です。ただし、同時には起こらないイベントに使います。例えば、「雨が降る確率」プラス「雪が降る確率」から、「雨か雪が降る確率」を出すときに使います。もし雨と雪が同時には降らないなら、それぞれの確率を足し合わせればOKです。次に、乗法定理です。これは、2つのイベントが両方起こる確率を見つけたいときに使います。ここで大事なのは、1つ目のイベントが起きた上で、2つ目のイベントが起きる確率を掛け合わせることです。例えば、「サイコロを振って1が出る確率」に「その後で2が出る確率」を掛け合わせると、両方が起きる確率が計算できます。これらの定理を使うことで、確率を上手に計算できるようになります。