RMSEで解き明かす、予測精度の真実【東京情報大学・嵜山陽二郎博士のAIﾃﾞｰﾀｻｲｴﾝｽ講座】
誤差の標準偏差（RMSE）は、回帰直線周りの観測値のばらつきを同じ単位で表す指標で、±1.96×RMSEの範囲内に真の値の95%が含まれるとされます。RMSEは、モデルの予測精度を評価する上で重要で、値が小さいほど予測精度が高いと考えられます。正規分布と等分散の仮定のもとで、RMSEは観測値の分布の標準偏差として機能し、モデルがデータをどれだけ正確に予測できるかの目安となります。
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目次 RMSEで解き明かす、予測精度の真実【東京情報大学・嵜山陽二郎博士のAIﾃﾞｰﾀｻｲｴﾝｽ講座】
誤差の標準偏差（RMSE）：回帰直線のまわりの標準偏差
回帰診断で、R2乗と並んで重要なのが誤差の標準偏差（RMSE）です。
上記のExcelテンプレート右下にRMSEの計算式が入っています。
こちらのExcelテンプレートが欲しい方は以下お問い合わせフォームからリクエスト頂けれは差し上げます。
さて、誤差の標準誤差（RMSE）ですが、これはあてはめた回帰直線のまわりの標準偏差の大きさを観測値と同じ単位で表したものです。
上のテンプレートではRMSEが3.71と算出されましたが、つまり回帰直線Y=29.6+0.324Xという回帰直線を中心に標準偏差が約3.7で分布していると考えればよいわけです。
ただし、この式はあくまで標本から得られたものです。
真の式（母回帰直線といいます）は神のみぞ知るもので、誰にも分かりません。
多分こんな直線の関係なのだな、と思って線を引いているにすぎないのです。
図に示すと、下のような関係です。
切片をα、回帰係数をβとしていますが、このように神のみぞ知る母回帰直線では、係数はギリシャ文字であらわします。
つまり、観測値からa+bXとして算出した予測式は、真の式ではなく推定式である、真の式α＋βXは誰も知らないのであるという大前提をまずは理解しましょう。
さて、直線回帰分析では、
①Ｙの分布が正規分布である
②Ｙの分布においてどのXに対しても分散が等しい（等分散）
の２つが必要条件です。
±1.96×RMSEの範囲に真の値の95%が含まれる
Ｙの分布は正規性と等分散を仮定しているので、どのXに対しても±RMSEの範囲で真の値（神のみぞ知るα＋βX）の６８%が含まれていると近似的に言えます。
RMSEのスケールを1.96倍大きくすると、どのXに対しても±1.96×RMSEの範囲で真の値（神のみぞ知るα＋βX）の95%が含まれていると近似的に言えます。
得られた回帰式が予測に関して役に立つかどうかについては、 このRMSEが予測の目的を満足するだけの精度を持っているかどうかが重要な判断材料になります。
RMSEとは簡単にいうと回帰直線のまわりのＹのばらつきの指標です。これが小さいほど予測精度が高いといえます。
R2乗と並んで重要なので覚えておきましょう。
ChatGPTに聞いてみた
プロンプト
あなたは最高のデータサイエンティストです。
誤差の標準偏差、RMSEについて解説してください。
#制約条件：
サルでもわかる平易な日本語で
文字数は300字程度
ChatGPTの回答
RMSE（平方根平均二乗誤差）は、予測モデルの誤差（間違い）の大きさを測る尺度です。誤差っていうのは、モデルの予測値と実際の値がどれくらい違うかってこと。RMSEはその違いを数字で表したものです。計算するには、まず予測値と実際の値の差（誤差）を二乗します。これが誤差を正の数にして、大きな誤差をより重く見るため。それから、これらの二乗した誤差の平均を取り、最後にその平均の平方根を計算します。例えば、天気予報で「明日の最高気温は25度です」と言ったのに、実際は23度だったとします。この2度の違いが誤差です。RMSEは、このような誤差をたくさん集めて、その平均的な大きさを教えてくれる数値です。RMSEが小さいほど、モデルの予測が実際の値に近い、つまり良いモデルだと言えます。大きいほど、予測が実際から離れているので、改善の余地があるということになります。簡単に言うと、RMSEは予測の「ズレ」を教えてくれる指標で、小さいほどうまく予測できているんです。
