推測統計：標本で母集団を統計的推測

統計解析で、記述統計と並んで重要なのが推測統計です。

推測統計すなわち統計的推測の根底にあるのは、母集団と標本という考え方です。

母集団は巨大すぎて測ることができません。例えば日本人1億3千万人の平均血糖値を測定しようと思うと、物凄い労力と時間とお金がかかります。

そこで、母集団から標本（サンプル）を抽出し、その標本から母集団の性状を推測しよう、というのが推測統計すなわち統計的推測の根幹の考え方です。

これからお話する標準誤差や95%信頼区間も推測統計（統計的推測）に基づいて計算されます。

ではどのようにして推測するか、そこでは、確率分布の考え方が重要になります。

例えば母平均を推定したいとします。

その場合、母集団から標本を例えば100個とか抽出します。

そしてその標本内の100個のデータを平均すると、標本平均が求まります。

この標本平均は、母平均にかなり近い値になることが知られています。

ただし、標本を母集団から偏りなくランダムにとることが条件です。

標本平均の値から、母平均の値を推測する、まさに推測統計です。

では、この母平均の推定精度はどの位でしょう。

標本平均は母平均のよい推定にはなりますが、厳密には同じになりません。

少しブレます。

では同じ母集団から別の標本をとり再び標本平均を計算します。

この値も、一回目に得た標本平均の値に近くはなりますが、全く同じにはなりません。

少しブレます。

標本自体が違うので、少しくらいブレたとしてもおかしくありません。

しかしそのブレは小さいです。

この小さいブレの大きさが標準誤差と呼ばれるものです。

このブレは、標本サイズ、つまり標本の中のデータの数が小さい（数十個とか）ですと大きくなりますが、

標本サイズが大きい（数百とか数千とか）と小さくなります。

標本サイズが大きければ大きいほどブレは小さくなります。

実験で、データは多くとった方がいいとよく言われる理由はここにあります。

標準誤差は、母標準偏差を標本サイズの平方根で割ったものです。

標本サイズが大きいほど、標準誤差は小さくなります。

このブレの大きさがすなわち母平均の推定精度になります。

さて、仮にこの同じ母集団からの標本抽出を何度も行うという、ありえない光景を想像しましょう。そして、各標本から標本平均を計算し、この標本平均を多数集めます。

すると、この多数の標本平均の分布は、必ず正規分布になります。

これを中心極限定理といいます。統計学の大定理と呼ばれています。

この必ずなる正規分布の標準偏差が、すなわち標準誤差です。

標準誤差と95%信頼区間

標本サイズが大きいほど標準誤差は小さくなるので、この正規分布は細いつりがね型になります。

その母平均を含む範囲は、この細い正規分布の標準偏差にあたりますから、±標準誤差で68％です。

32％は母平均をはずしてしまいます。

これを推定精度と呼ぶには、ちょっと頼りないですね。

そこで、±1.96×標準誤差と、範囲を1.96倍広げます。

こうすると、母平均をちょうど95％カバーすることになります。

この±1.96×標準誤差が、すなわち±95％信頼区間　です。

推測統計では、標準誤差より圧倒的に95%信頼区間の方がよく使われます。

その理由は、95％という推定精度の良さにあります。

100回標本抽出し、95回は母平均を含むので、信頼性が高いですね。

ただ、5回ははずす可能性があります。完璧ではありません。