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最小二乗解

最小二乗解（最小二乗基準〉〈Least Squares Solution or Criterion〉

二変数または回帰式において，回帰係数および切片の値を推定するために用いられる基準。

値は参加者間の基準変数における予測偵と実測値の差の二乗和を最小化するように求められる。

すなわち、予測における誤差の二乗和の最小である。

差分重みづけ〈Differential Weighting〉各予測変数の得点と変数の回帰係数を掛け，その積の和によって基準変数の予測得点を得る方法。

各予測変数は独自の回帰係数をもっているため，予測変数の差分で重みづけられる。

残差得点（誤差得点）〈Residual or Error Scores〉

参加者の回帰式によって予測された基準変数得点を、実際の基準変数枠点から減算することで求められる値。

実験的統制〈Experimental Control〉統計的な方法とは対照的に、ある変数を一定に保持あるいは均質化することにより，潜在的な第三変数によって生じうる説明を統制する方法。

たとえぱ。参加者を群に無作為に割り当てた群間で参加者の特徴を均一にするなど。

また女性の参加者のみを研究に用いることで性別を統制することができる。

重回帰／相関〈Multiple Regression/Correlation: MRC〉

データ分析手法のｌつで、最小二乗基準に基づき，複放の予測変数と１つの基準変数の間の線形関係を決定すること，あるいは，ある雌準変数を予測するのに最適な予測変数の結合のしかたを決定することである。

重回帰係数〈Multiple Correlation Coefficient〉

重回帰分析の結果の１つで，０から１までの値をとり�@基準変数と合成された予測変数の問の線形関係または�A実際の観洲変数と予測された基準変数の問の線形関係，の程度を表す。

重回帰方程式〈Multiple Regression Equation〉

重回帰分析の結果は，最小二乗基準に基づいて予測変数を重みづけた線形結合で衣現し，基準変数に最適な予測変数を提供する。

これには得点を用いる形式と標準化得点を用いる形式の方程式がある。

重決定係数〈Coefficient of Multiple Determination〉

MRC分析において，予測変数の組み合わせの幅で共有されている基準変数の分散の制合を表す，

重相関係数を二乗した値。

縮小，縮小式，導出研究における部分的なサンプルに特布の変数どうしの関係を反映するMRCの出力結果である。

したがって，回帰式が異なるサンプルの参加者に対して用いられたとき、予測の関連性と精度は低くなる（つまり小さくなる）。

これは縮小という現象として知られている。

予想される縮小を推定するための式は縮小式として知られており，これらの式のｌつによって推定された重相関係数は縮小されたあるいは調整済み係数とよばれ、縮小されたあるいは調整済みがａの形で報告されることが多い。

冗長な分散〈Redundant Variance〉

2つかそれ以上の予測変数によって共有されている基準変数の分散、つまり，この分散はこれらの予測変数のどこからでも予測・説明されるので，この過剰な分散は予測を目的にするときは余分である。

推定値や予測の標準誤差〈Standard Error of Estimate or Prediction〉

重回帰分析の結果で(SEと書く），誤差，すなわち残差得点の分布の標準偏差である。

予測された基準変数得点の誤差の平均的な大きさを表す。

最小二乗解は統計学およびデータ分析における重要な概念であり、特に回帰分析において回帰係数および切片の値を推定する際の基準として広く用いられています。最小二乗解の基本的な原理は、予測値と実測値の差の二乗和を最小化することにあります。これは、予測モデルが可能な限り正確に観測データを説明するための最適化手法の一つであり、この基準に基づいて回帰係数が決定されます。具体的には、二変数間の関係を調べる単回帰分析から、複数の予測変数を含む重回帰分析に至るまで、さまざまな回帰モデルに適用可能です。差分重みづけはこの過程の一部であり、各予測変数に固有の回帰係数を割り当てることで、基準変数の予測得点を求める手法です。差分重みづけでは、各予測変数の得点に対応する回帰係数を掛け、その積の総和を計算することで基準変数の予測得点を得ます。これにより、予測変数間の影響を適切に考慮しながら、より正確な予測が可能となります。残差得点、または誤差得点は、予測された基準変数得点から実際の基準変数得点を差し引いた値であり、モデルの予測精度を評価するための重要な指標です。残差が小さいほど、モデルが観測データを正確に捉えていることを意味します。一方、実験的統制は統計的手法とは異なり、特定の変数を一定に保つか均質化することで、潜在的な第三変数による影響を排除する手法です。たとえば、無作為化されたグループ分けを行うことで、参加者の特徴が均一化されるため、第三変数の影響が減少します。また、特定の条件下でのみ研究を実施することで、変数を統制することも可能です。たとえば、女性の参加者のみを対象とした研究を行うことで、性別の影響を排除することができます。重回帰分析は、複数の予測変数と1つの基準変数の間の線形関係を解析するための手法であり、最小二乗基準に基づいて予測変数の結合の最適化を行います。これにより、基準変数を最も正確に予測する予測変数の組み合わせが決定されます。重回帰分析の結果として得られる重回帰係数は、基準変数と合成された予測変数の間の線形関係の強さを示し、その値は0から1までの範囲を取ります。重回帰係数が1に近いほど、予測変数と基準変数の関係が強いことを意味します。重回帰方程式は、最小二乗基準に基づいて予測変数を重みづけた線形結合を表し、基準変数に最適な予測変数を提供します。この方程式には、観測得点を用いる形式と標準化得点を用いる形式があり、データのスケールに応じて使い分けられます。重決定係数は、予測変数の組み合わせが基準変数の分散をどの程度説明できるかを示す指標であり、重相関係数の二乗値として計算されます。この値が高いほど、モデルが基準変数をよく説明していることを示します。しかし、モデルが異なるサンプルで適用された場合、予測精度が低下する現象が生じることがあります。これは縮小現象と呼ばれ、モデルの一般化能力を評価する際に考慮すべき重要な課題です。縮小現象を評価するためには縮小式を用い、これにより調整済み係数が算出されます。調整済み係数は、予測精度の低下を考慮に入れた値として報告されることが多く、モデルの信頼性を評価する際に役立ちます。さらに、冗長な分散は、複数の予測変数が共有する基準変数の分散を指し、これは予測精度を向上させる目的においては余分であるとされます。予測の標準誤差は、予測された基準変数得点の誤差の平均的な大きさを示し、モデルの精度を評価するための指標として用いられます。標準誤差が小さいほど、予測のばらつきが少なく、モデルの精度が高いことを意味します。このように、最小二乗解を用いた回帰分析は、データの関係性を詳細に把握し、正確な予測を行うための強力な手法として、さまざまな分野で広く活用されています。