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レンジ（範囲）と標準偏差：標準偏差はレンジの約2-3分の1

標準偏差は、もとのデータのバラツキの度合いの何を、どのように表しているのでしょうか。

言い換えれば、この標準偏差の大きさから、データのバラツキをどのように読み取れるでしょうか。

計算さえすれば、分散でも標準偏差でも、一応出てきます。

しかしその結果の数字の意味がいまひとつピンときません。

したがって、「標準偏差が理解できた」という人の大部分は、計算の手続きがわかったにすぎない場合が多いです。

一方、「レンジ」は具体的意味を持っていました。

レンジは最大値と最小値の差なので、これはわかりやすいです。

では、このレンジと標準偏差とには関係があるのでしょうか。

あるとすればどんな関係でしょうか。

完全な１対１の対応関係はありませんが、両者にはおおよそ次のような関係があります。

�@データ個数n＝3-5くらいのとき、標準偏差はレンジの約2分の1

�Aデータ個数n＝10前後のとき、標準偏差はレンジの約3分の1

本当は、もっと精密な数表があるのですが、ここではこの程度に理解しておきましょう。

この関係を用いれば、標準偏差の計算の煩わしさを回避することができます。

たとえば、コーヒー好きの友人数人が集まって、１日何杯のコーヒーを飲むかという話をしていて、最大が10杯、最小が2杯だとすると、

すぐレンジの8÷3＝約3と暗算して、標準偏差は3杯くらいと見当がつきます。

あとでExcelで標準偏差を計算してみると、だいたい合っています。

ただし、データ個数が多くなるにしたがって、レンジでは無視されるデータ数が増えてくるので、両者の関係はうすくなります。

度数分布と標準偏差

では、原データの分布と標準偏差との関係はどうか。

ある計算実験を行ってみましょう。

以下のデータで、平均値と標準偏差を計算してみましょう。

122, 126, 123, 125, 123, 128, 123, 127, 125, 128

計算すると、

平均値＝125
標準偏差＝2.2

となります。

ここで、下限＝ｍ−σ、上限＝ｍ＋σ

として、この幅をとります。

すると、

122.8から127.2の幅になります。

この幅の中には、

126, 123, 125, 123, 123, 127, 125

の７個のデータがあります。

つまり、±標準偏差の中に、約７割のデータが入っているのです。

データが正規分布をしているならば、±標準偏差の中に68.3%のデータ（約68%）が入っていることになります。

この68という数字は覚えておくとあとあと非常に便利です。

ついでに、データが正規分布をしているならば、±1.96×標準偏差の中に95%のデータが入っていることになります。

よく教科書ではこれを標準偏差の２倍と解説していますが、２ではなく1.96で覚えましょう。

1.96倍にするとちょうど95%になるからです。