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最尤推定法（maximum likelihood (ML) method）

最尤推定法（maximum likelihood (ML) method）は、数学的モデルの中のパラメータを推定するために統計学者が発明したいくつかの方法の一つです。

よく知られた他の方法としては最小二乗法（least squares）（LS）による推定法があり、これはほとんどの統計学の入門コースの中で古典的な直線または多重線型回帰モデル（multiple linear regression model）のパラメータを推定する方法として述べられています。

最尤法による推定と最小二乗法による推定とは異なった方法ですが、従属変数が正規分布をとると仮定されるとき、古典的な線形回帰分析では同じ結果をとることになります。

必要となる複雑な計算を行うことが可能なコンピュータソフトがなかったために、最尤法による推定は長い間広く用いられていませんでした。

しかし、近年では最尤法のプログラムが広く手に入るようになりました。

さらに、最小二乗法に比べて、最尤法は線形モデルだけでなく、複雑な非線形モデルにも応用可能です。

特にロジスティック回帰モデルは非線形モデルなので、最尤法はロジスティック回帰分析での推定法として好まれています。

最尤推定法のためのコンピュータプログラムが可能となるまで、ロジスティックモデルでは判別関数法（discriminant function analysis）が用いられていましたが本質的には最小二乗法であることが統計学者によって示されています。

モデルのパラメータについて統計的推論を行うには、モデルの独立変数が正規分布をとるという限定的な仮定が必要になります。

特に、独立変数のいずれかが性質上２値変数またはカテゴリー変数の場合、判別関数法では偏った結果が得られる傾向があり、通常推定されたオッズ比は大きすぎる値となります。

一方、最尤法では、独立変数の性質についてとんな制限も必要としません。そのため最尤推定を用いてる場合には、独立変数を名義、順序、あるいは間隔変数として使用することが可能です。

その結果、ロジスティックモデルをあてはめるのに最尤推定が判別関数分析よりも好まれるのです。

最尤推定法（maximum likelihood method）は、統計モデルにおけるパラメータを推定するための方法の一つであり、統計学者によって発明されました。この手法は、与えられたデータが最も高い確率で観測されるようなパラメータ値を見つけることを目的としています。最尤推定法の基本的な考え方は、データが実現する確率の積で表される尤度関数を最大化することにあります。この方法は、数学的には最適化問題として定式化され、複雑な確率分布やモデルにも対応できる強力な手法として位置づけられています。古くから統計学の分野で提案されていましたが、計算量が多く、必要とされる計算を手作業で行うのが難しいため、長い間実用化には至りませんでした。しかし、コンピュータの発展とともに計算能力が向上し、現在では多くの統計ソフトウェアが最尤推定法をサポートしているため、広く利用されるようになっています。これにより、複雑なモデルや非線形モデルの解析にも最尤推定法が活用されるようになり、その重要性がますます高まっています。他の推定方法としてよく知られているものには最小二乗法（least squares method）があり、これは多重線形回帰モデルや古典的な線形回帰モデルのパラメータ推定において広く用いられています。最小二乗法は、観測値とモデルによる予測値との差を最小化することを目的としており、単純かつ計算が容易であるため、統計学の入門コースでも基本的な手法として教えられることが多いです。一方で、最尤推定法は、従属変数が正規分布を仮定する場合には最小二乗法と同じ結果を得ることができますが、より複雑なモデルや非線形モデルにおいても適用可能であり、その適用範囲の広さが大きな特徴です。特にロジスティック回帰モデルのような非線形モデルでは、最尤推定法が推定方法として好まれています。ロジスティック回帰分析では、従属変数が0または1の2値変数となることが一般的であり、正規分布を仮定する判別関数法では結果が偏ることがあります。この場合、独立変数に性質上の制約を課さずに推定が可能な最尤推定法の方が、より正確で信頼性の高い結果を得ることができます。また、最尤推定法を用いることで、独立変数が名義変数、順序変数、あるいは間隔変数であっても柔軟に対応できる点も大きな利点です。一方で、最小二乗法や判別関数法では、正規分布の仮定や独立変数の性質に制約があるため、ロジスティック回帰分析のような状況では最尤推定法に比べて適用可能性が限られます。さらに、最尤推定法はモデル選択やモデル評価の観点からも重要な役割を果たしています。例えば、AIC（Akaike Information Criterion）やBIC（Bayesian Information Criterion）の計算においても最尤推定法が基本となっており、モデル間の比較や適合度の評価に利用されています。これらの情報量基準は、モデルの複雑さと適合度のバランスを考慮することで、過学習を防ぎつつ最適なモデルを選択する助けとなります。最尤推定法はその柔軟性と理論的な一貫性から、単純な線形モデルから複雑なベイズモデルに至るまで、さまざまな分野で活用されています。医療統計、生物統計、社会科学、経済学など、広範な分野で利用されるこの手法は、データ解析の基本的な柱の一つとなっています。近年では、最尤推定法を基盤とした新たなアルゴリズムや手法の開発も進められており、ますます多様な応用が可能となっています。このように、最尤推定法は現代の統計学において欠かせない手法として広く認識されていますが、その計算の複雑さやデータの仮定に基づく制約を理解した上で適切に用いることが求められます。