Z得点と正規分布の魔法！34％の謎を解明【ChatGPT統計解析】
正規曲線は、平均値、中央値、最頻値が等しく、左右対称の特性を持ち、裾が決してｘ軸に触れない性質を有します。この曲線は分割可能であり、特に平均値から標準偏差１つ分の範囲（Z得点が0から1まで）には、分布全体の34％が含まれるとされます。例えば、平均値100、標準偏差10の分布では、スコアが100から110の間にある確率は34％です。これは正規分布の特性を利用して、任意の結果に対して確率を割り当てることができるため、統計的検定や仮説検証の基礎となります。特定のZ得点に基づく確率を計算するためには特別な表が用いられます。この概念は推測統計において極めて重要です。
Z得点と正規曲線
正規曲線は、
②左右対称であり
③分布の裾は決してｘ軸と接しない
という３つの性質をもちます。
しかし、Z得点と、推測のアイデア、推測統計の使用についての議論にとって、正規曲線には他にもとても重要な性質があります。
Z＝0（平均値）～Z＝1（平均値＋標準偏差）の結果を生じる確率は34％
正規曲線は分割することができます。
たとえば平均値とZ得点＝1（つまり標準偏差１つ分大きな値）の間には、分布全体の34％が存在します。
ある評点の平均値が100で標準偏差が10であったとしたら、この分布における全体の34％は100と110の間に入るということです。
負のZ得点の場合も同様です。
たとえば、正規曲線のもとでは、常に分布全体の34％が、平均値とZ得点の－１（つまり、平均値から１標準偏差だけ低い値）の間に入ります。
これは、正規曲線を左右半分に分けたときに、それらは対称であり、それぞれがちょうど50％の割合を占めるからです。
このことがなぜそれほど重要なのでしょうか。
得点の分布における任意の結果に対して確率を付与することができるからです。
たとえば、平均値が100で標準偏差が10である分布においては、素点で100（Z＝0）から110（Z＝1）までの結果を生じる確率は34％である、とすることができるのです。
つまりこの結果は、正規曲線下において、分布全体の34％を含む領域に入ります。
あるいは、平均値が100で標準偏差が10である分布において、素点で80（Z＝－2）から90（Z＝－1）までの結果が生じる確率は13.59％です。
どんな特定の値に対しても、その値が得られる見込みの正確な確率を得るために、特別な表を用いることがあります。
たとえば、Z得点が1.65だとすると、正規分布においてこれよりも下の値が得られる確率はおよそ95％です。
逆にこれよりも上の値が得られる確率は5％です。
このようにして結果に対して確率を付与することは、私たちが議論する推測統計、仮説検定の多くに対する基盤として、非常に重要です。
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