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実験の結果を正しく解釈するには、分散分析法によらなければなりません。

しかし、分散分析法の基礎となる理論は初心者にとって難解です。

そこで、以下で分散分析法の成り立ちをできるだけ平易な表現で解説しました。

分散分析法とは

１つもしくは複数個の因子の異なる水準が特性値の平均にどのような差をもたらすかを統計的に調べる手法です。

分散の分析ではなく、分散を用いた平均値の分析です。

因子が１つの場合には一元配置分散分析、２つの場合には二元配置分散分析といい、それ以外にも反復測定分散分析など、データの取り方に応じた分析法があります。

分散分析は主効果、交互作用などの効果を線形モデルの形に表し、誤差の正規性の仮定の下で最小２乗法により各効果を推定し、その有意性を統計的に検定します。

結果は分散分析表の形にまとめられます。手計算の時代に開発された手法ですが、現在でも依然として最有力の分析手法です。

分散分析表

分散分析における平方和および自由度の分解ならびにそれらの値に基づく検定の手順と結果を表の形にまとめたものです。

手計算の時代には計算のチェックもできるということで分析の重要なツールでしたが、コンピュータでの計算が主流の現在でも分析結果の解釈には欠かせない表となっています。

回帰分析などでも分析結果の要約として分散分析表が用いられます。

観測値をモデルへの当てはまり部分と残差部分に分けるという視点は統計分析全てに共通するものです。

実験計画法と分散分析

実験を行う場合、目的とする特性値に影響のある変動要因の中から、その実験にとり上げた原因を因子（factor）とよびます。

その因子を量的・質的に変える条件を水準（level）といいます。

通常、因子はローマ字の大文字で表し（例えばA, B, C）、水準は数字の添え字により表します（例えばA1, B1, C1）。

ある薬品の合成反応で、合成収率（%）に対する反応温度（因子A）の影響を調べることになりました。反応温度としては、

A1: 50度、A2: 55度、A3: 60度、A4: 65度

の４水準をとり、各水準ごとに５回ずつの繰り返し実験を行うことにしました。

全実験回数は２０回となりますが、この実験順序をランダムに実施した結果、以下表のような合成収率のデータを得ました。

この実験では、因子である反応温度が４水準とられています。

いま、表のデータを反応温度の水準別に図示すると、以下図のようになります。

この図から明らかなように、反応温度がかわると収率のデータは変化します。

しかし、同じ反応温度でも収率が一定になるのではありません。

例えば、A1:50度の場合では、最低53.0%から最高54.0%までばらついています。

つまり、このバラツキの中には、

�@反応温度の水準を変えたためのバラツキ

�A同じ反応温度のもとで実験をくり返したときのバラツキ

とが、混じり合っていることがわかります。

いま、この実験全体のデータのもっているバラツキを総変動とよび、反応温度を変えたためにデータに与えられるバラツキの部分を級間変動（または因子間変動）、同じ反応温度の中で実験を繰り返すことによってデータに与えられるバラツキの部分を級内変動（または誤差変動）と呼ぶこととし、これらを図のように表すことができます。

ここで、もし反応温度の水準を変えたことによってデータのバラツキが大きくなったとすれば、各変動の割合は図のように級間変動が大きくなるであろうし、反応温度をかえてもあまりデータに影響がないのなら、以下図のように級内変動の割合が大きくなるでしょう。

ここで、因子の水準を変えたことにより効果があるということは、各水準の中でのデータのバラツキ、すなわち誤差に対して、水準を変えたため影響が認められるということです。

したがって、因子の効果は、いつも因子の水準の中でのバラツキ（ここでは級内変動）と比較して決めることが必要になるのです。

そこで、いま、適当な統計量を用いて実験データのバラツキを図のように分解することができるならば、両変動の大きさを比較することによって、反応温度を変えたことによる影響、一般には因子の効果、これを主効果（main effect）といいますが、これを調べることができます。

このように、データのもっている変動を、因子や誤差などの要因成分に分けて因子の効果を検定する方法を、分散分析法といいます。

分散分析法は、複数の因子やその水準が特性値の平均に与える影響を統計的に調べる手法であり、実験結果の正確な解釈を行う上で欠かせない技術です。この手法は、データの変動を要因成分に分け、それぞれの効果を統計的に検定することで因子が与える影響の有無を判断します。特に、主効果や交互作用などの効果がどの程度特性値に影響を及ぼしているかを検討する際に有用であり、線形モデルや最小二乗法を用いて有意性を解析します。結果は分散分析表の形にまとめられ、平方和や自由度といった統計的指標に基づいて効果の有意性が判断されます。この手法は、手計算が主流だった時代に開発されましたが、現在でもその基礎的な考え方は変わらず、コンピュータによる計算が普及した現代においても非常に重要なデータ解析の手法とされています。例えば、ある薬品の合成反応において反応温度が合成収率に与える影響を調べる場合、反応温度を因子として取り上げ、その水準を50度、55度、60度、65度の4段階に設定します。各水準ごとに5回の繰り返し実験を行い、合計20回の実験結果を得たとします。このように収集されたデータを分散分析にかけることで、反応温度の水準を変化させたことによる合成収率の変動、すなわち因子の効果を評価することができます。具体的には、得られたデータを級間変動（因子間変動）と級内変動（誤差変動）に分解し、反応温度の水準を変えたことによる変動がデータ全体の変動の中でどれだけ大きな割合を占めるかを分析します。このとき、反応温度を変化させた効果が統計的に有意であるかを判断するには、因子の効果を誤差変動と比較する必要があります。適切な統計量を計算し、両者を比較することで因子の主効果を検定します。このようにして得られる結果から、反応温度が合成収率に影響を与える要因であるかどうかを明確にすることができます。分散分析法は、一元配置分散分析や二元配置分散分析、反復測定分散分析など、因子の数やデータの取り方に応じて様々な手法が存在します。一元配置分散分析は、単一の因子を対象とし、異なる水準が特性値にどのような差をもたらすかを調べる方法です。一方、二元配置分散分析は2つの因子の効果とその交互作用を同時に検討することができ、より複雑な実験設計にも対応可能です。反復測定分散分析は、同じ被験者に対して複数の条件を繰り返し測定する際に使用され、データのばらつきに個体差が影響を与える場合に適しています。これらの分散分析法では、観測値をモデルへの適合部分と残差部分に分ける考え方が基本となります。例えば、実験全体のデータが持つばらつきを総変動と呼び、それを因子の効果による変動（級間変動）と誤差による変動（級内変動）に分解します。もし因子の水準を変化させたことによる影響が大きければ、級間変動の割合が増大し、逆に影響が小さければ級内変動の割合が大きくなります。このようにデータの変動を分解することで、因子が特性値に与える影響の有無を統計的に検討することが可能となります。また、分散分析は単なる統計的手法としてだけでなく、実験計画法の一環としても非常に重要な役割を果たします。実験計画法では、目的とする特性値に影響を与える要因を因子として定義し、その因子を量的または質的に変化させる条件を水準と呼びます。因子は通常ローマ字の大文字で表され（例：A, B, C）、水準は数字の添え字を用いて示されます（例：A1, B1, C1）。実験計画を立てる際には、因子と水準の設定だけでなく、実験の順序をランダム化することでデータ収集における偏りを最小限に抑えることも重要です。ランダム化された実験の結果から得られるデータは、分散分析を通じて解析され、因子の効果や交互作用の有無を明確にします。例えば、反応温度を因子として設定した場合、異なる温度条件が収率に与える影響を比較することで最適な条件を特定することができます。このように、分散分析法は、実験データの解釈を科学的に裏付けるだけでなく、実験計画をより効率的かつ効果的に進めるための基盤を提供します。さらに、分散分析表は、解析結果をわかりやすく整理するためのツールとしても重要です。分散分析表には、平方和、自由度、平均平方、F値、p値などの情報がまとめられており、これらをもとに因子の効果が統計的に有意であるかどうかを判断します。分散分析表は手計算時代には計算の正確性をチェックするためのツールとして重宝されていましたが、現在でも解析結果の解釈や説明に不可欠な役割を果たしています。また、回帰分析など他の統計手法においても、分散分析表は解析結果を要約する形式として利用されることが多いです。このように、分散分析法はデータの変動を因子や誤差といった要因成分に分ける視点を提供し、因子の効果を統計的に検定することで、科学的な結論を導く手助けをします。そのため、分散分析法を正しく理解し活用することは、統計解析や実験計画を扱う上で非常に重要です。