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左右対称分布と平均値

左右対称の山型分布では、山のもっとも高いところの真下に平均値がきます。

これは、平均値付近のデータを持つ対象者が最も多いことを意味します。

対象者がもっとも集中しているデータ値を最頻値またはモード（mode）と呼んでいます。

この言葉を用いれば、対称型の分布では「平均値と最頻値が一致する」といえます。

平均値がいくらいくらと言われると、ついうっかりしてその付近に個々の対象者データが集中していると信じてしまいます。

度数分布が左右対称になっていれば正しいのですが、そう都合のよい対称型分布には、めったにお目にかかれないはずですし、それに近い分布もあまりありません。

左右非対称分布と平均値

社会科学の領域では、左右非対称が多いことはすでに述べましたが、その状況では度数分布と平均値の関係はどのようになるでしょうか。

左右非対称分布型での平均値は、山の頂上と下部に当たる最頻値よりも山が長く裾を引くほうにずれます。

最頻値が文字どおりの具体的な意味を持っているのにくらべると、最頻値からずれた平均値の具体的な意味づけは難しいといえます。

たとえば、４人家族が最も多いということであれば、家族数の最頻値は４人となって、その意味は明白です。

しかし、平均家族4.5人といわれたとき、どんな世帯分布を想像したらよいでしょうか。

４人と５人のちょうど真ん中ということは、４人家族と５人家族が同数ということも考えられます。

あるいは、それ以外の家族数も平均値には利いているとすれば、もっと複雑な話かもしれません。

そもそも、アリスの国ならぬ平均値の世界と現実世界との対応づけは可能なのでしょうか。

言い換えれば、4.5人の意味探しに意味があるのでしょうか。

逆Ｊ型その他の分布と平均値

逆Ｊ型分布のグラフでは、英文字Ｊの急な坂の途中の、なんとも危なげなところに平均値がきます。

この分布型では、平均値との具体的な対応はまったくないといってよさそうです。

Ｕ型分布ではどうでしょうか。

これはもっと悪いといえます。

真ん中の、度数のほとんどないところに平均値が来ています。

１週間の喫煙日数は人によって、０日か７日のどちらかでしょうから、もっとも極端なＵ型分布がみられます。

平均喫煙日数が3.5日です、と言われれば、「ああ、タバコを吸う人と吸わない人と半々だな」とすぐさま推理できます。

そんな平均日数に忠実に従って、つまり１日おきにタバコを吸っているヘンな喫煙者を無理に想像しないくてもいいのです。

双峰性分布でも同様です。

子どもと老人の集団の平均が中年層になるという、へんな理屈を信用するわけにはいきません。