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平均値は度数分布の重心

では、ふつうもっともありふれた非対称型の場合、平均値は最頻値からどれくらいずれるでしょうか。

正確には平均値を計算してみる以外にありませんが、非対称の度合が著しいほどずれるのは当然です。

ところで、平均値は数学的には度数分布の重心の位置にあります。

これは次のように証明されます。

先に述べた「偏差の和＝0」から、度数×偏差の合計を計算すると、平均値の左右でイコールになります。

そこで、度数＝おもり、平均値＝支点　とみなせば、テコの原理でバランスがとれるのです。

私たちは、生まれて以来、この地球にずっと住みついていて、重力にはお馴染みで、また重心の感知能力はきわめて高いといえます。

その能力なくして２本足での直立歩行などできるものではないからです。

うちの飼い猫を見ていると、４本足のせいか、塀の上でもどこでも無造作に歩いて、バランスをとる気苦労などすこしもなさそうです。

ということで、平均値の存在理由は、単に抽象的な計算結果などではなく、データの重心という、きわめて具体的、直接的、普遍的な特質にあるのです。

このおなじみの特質を早速利用しない手はありません。

データの重心という具体的・直接的・普遍的な特質

平均値の位置を直感的に知るために、度数分布の山型に描かれた部分を切り抜いて、鉛筆のような棒にのせて左右のバランスをとります。

そこが平均値の位置なのです。

実際に紙を切り抜いたりの手間をかけなくても、長らく地球人をやってきている読者には、想像力だけで、「平均はこの辺りだな」とおおよその見当はつくはずです。

頭だけの理屈で考えると、分布の左右の面積をイコールにすればいいと誤解する向きもあるでしょう。

しかし、体験的直観はそうでないことを教えてくれます。

ただ、異常値があると、テコのおもりがずっと端のほうに寄ったようなもので、平均値（支点）はそれによって大きくずれて、重心の位置の見当がつきにくくなります。

バランスをとるのに十分気をつけたいところですが、やはり平均値は異常値に弱いといえます。