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多重共線性の程度

多重共線性の程度は，偏回帰係数の絶対値や相対的な大きさにも影響しているため，解釈にも影響が出る。

概念的には、標準化された回帰係数の相対的な大きさは，基準変数との二変量相関の大きさとおおよそ等しくなることが予測される。

これは多重共線性が小さい場合の話である。

しかし予測変数間の相関が大きくなっているとき，これらの回帰係数の相対的な大きさは二変数の相関係数から大きく外れていく。

Pedhazur (1982)の示した例が，このことを描き出している。

その例では。全部で３つの予測変数（Ｘｌ．Ｘ２，Ｘ３）があり，それぞれ基準変数ｙとの二変数相関係数は独立的であるようにつくられていた（それぞれ 0.50. 0.50,0.52) 。

だから，人はこれらの３つの変数はｙの説明について重要性は同程度だと考えるだろう。

しかし，もし

�@XlとX2，あるいはXIとX3の相関係数がそれぞれ小さく(r= 0.20).

�A X2とX3の相関係数が大きい（r = 0.85)

なら，これら３つの標準回帰係数は，それぞれ大きく変わってくる。

実際，Xlの標準倡回帰係数は2.5倍ぐらい大きくなる。

もし，この例における標準化回帰係数の相対的な大きさを単純に解釈した場合，X1はX2の2.5倍，X3の1.5倍も基準変数に寄与していると結論づけられるだろう。

しかし，標準化回帰係数の大きさの差異は予測変数間の相関がおもな原因であり，予測する変数と説明される変数（すなわち基準変数ｙ）との相対的な関係が原因ではない。

Xlが大きな標準偏回帰係数をもつのは、他の予測変数との相関関係が小さかったからである。

X3の標準化回帰係数が小さいのは，ｙとの関係が重複しているからである。

しかし，標準偏回帰係数におけるこうした違いが，理論的な意味をもつ，あるいは３つの予測変数の真の因果的寄与を反映しているという保証はない。

この点を表現するために，ＦとX2に強い因果的影響を与えていると考えてみよう。

これら２つの変数に対する相関係数を計算するとX2はｙに対してあったとしてもごく小さな因果的影響しかなく，その相関係数（r= 0.50)はX3との全体的な関係の結果生じたとしよう。

さらに，XIはＦに対して強い因果的影響があるため相関係数が大きくなっているが、この効果はX3の囚果的影響とは異なる（つまり独立している）と考えよう。

このとき，X3は少なくともXlと同程度Ｆに寄与しているはずである。

しかし. MRCは本当の因果関係を決定することはできず，標準化回帰係数は上述のようにX1の大きな寄与を示す。

だから。多重共線性が大きくなると重回帰分析の結果を解釈して理論的な説明をするときの複雑さは，膨らんでくるのである。

なぜなら予測変数どうしの関係を考えなけれぱならないからである。

多重共線性の問題は. MRCにとって，いわゆるお手上げである。

重回帰分析の大きな利点は，潜在的な第三の変数からの影響を統計的に統制できることにあった。

最も妥当な第三の変数は，研究における基準変数と予測変数の両方と高く相関しているものである。

もし，無相関な予測変数のみを用いることで解釈の複雑さを低減しようとする場合には. MRCの最も強力な側面である，潜在的な第三変数による説明の統制は必要なくなる。

しかし，高い相関を示す予測変数は偏回帰係数の解釈を混乱させ，ｙにおける分散の大部分が偏相関係数では説明されなくなってしまう。

多重共線性はフラストレーションのたまる問題で，技術的な理由から，予測変数はあまりにも高い相関（たとえば > 0.80)をしてはいけないのである。

しかし，予測変数を選択するときに，相対的に小さな内的相関しかないものを選ぶだけでは，問題解決に不十分である。

後で述べるように，重要な変数がMRC分析に含まれていない場合、誤った定式化という深刻な問題が生じる。

いずれの変数を研究に用いるかという決定は、検定されている仮説を含む理論的考察に基づいてなされる必要がある。

こうした予測変数問の因果の方向についての理論的検証があれば，多重共線性から得られる結果の解釈問題を最小にしてくれるのである。

実験的な統制を用いることができないような状況下でも，MRCによる統計的な統制は，それが理論的考察およびその限界についての知識に基づいて設計され解釈される限りにおいて，複雑な現象の理由と特性の理解について重要な情報を提供できる。

MRCの使用における基本的な仮定は３つのカテゴリーに分類される。

�@エラーすなわち残差得点に関するもの.

�A誤った定式化に関するもの.

�B測定誤差に関するもの，である。

多重共線性とは、重回帰分析において予測変数間に高い相関が存在することで、偏回帰係数の推定やその解釈が複雑化する問題を指します。この問題は特に偏回帰係数の大きさや標準化された回帰係数の解釈に影響を及ぼします。通常、標準化された回帰係数の相対的な大きさは、各予測変数と基準変数との単純な二変量相関係数におおよそ比例することが期待されます。しかし、多重共線性が大きい場合には、予測変数間の相関が高くなることでこの比例関係が崩れ、回帰係数の値が予測変数間の相関関係に影響されてしまいます。例えば、Pedhazur（1982）の示した例では、3つの予測変数（X1, X2, X3）が基準変数Yとの二変量相関係数がそれぞれ独立的に設定されており（0.50, 0.50, 0.52）、これらの変数はYの説明において同程度の重要性を持つと考えられる状況が提示されています。しかし、これらの予測変数間に特定の相関が存在する場合、例えばX1とX2あるいはX1とX3の相関係数が低く（r=0.20）、一方でX2とX3の相関係数が高い（r=0.85）場合、これらの標準化された回帰係数は大きく変動する可能性があります。この例では、X1の標準化回帰係数が他の変数と比較して約2.5倍も大きくなることが示されています。この結果は、多重共線性が回帰係数に及ぼす影響を端的に表しており、もしこの状況を単純に解釈すれば、X1が基準変数Yに対してX2やX3よりもはるかに大きな寄与をしていると誤解される可能性があります。しかし、実際にはこれらの差異は主に予測変数間の相関関係が原因であり、基準変数Yとの相対的な関係そのものが原因ではありません。X1の標準化回帰係数が大きくなる理由は、他の予測変数との相関が比較的小さかったことに起因し、一方でX3の標準化回帰係数が小さい理由は、基準変数Yとの関係が他の予測変数と重複していたためと考えられます。このように、多重共線性が存在する場合、標準化回帰係数の大きさを単純に解釈することは危険であり、理論的な因果関係を反映している保証はありません。また、多重共線性の影響は回帰分析の結果全体に広がり、理論的な説明や予測変数の重要性の解釈をより複雑にする要因となります。特に多重共線性が高い場合、重回帰分析を用いて得られる結果に基づいて理論的な仮説を検証することは困難を伴い、予測変数間の相関を考慮しない場合には誤った結論に至る可能性があります。この点を踏まえると、重回帰分析を適切に用いるためには、予測変数の選択において慎重な理論的検討が不可欠であるといえます。具体的には、仮説に基づいて検討されるべき予測変数間の因果関係や方向性を理論的に検証することが重要であり、これにより多重共線性の影響を最小限に抑えることが可能となります。さらに、実験的な統制が困難な状況下では、多重共線性が存在しても統計的な統制を行うことで、複雑な現象の理由や特性を理解するための重要な情報を引き出すことができます。ただし、この統計的統制も理論的考察に基づいて設計および解釈される必要があります。また、多重共線性の影響を低減させるために、予測変数間の相関が比較的小さい変数のみを選択する方法もありますが、このアプローチには限界があります。なぜなら、重要な予測変数が含まれない場合には分析が不完全となり、結果として誤った結論に至る可能性があるからです。例えば、予測変数間の相関が高いために変数を除外した場合、その変数が実際には基準変数に対する重要な寄与を持つ可能性を見逃してしまうことになります。したがって、多重共線性の問題を解決するためには、単に相関の低い変数を選ぶだけでなく、予測変数間の因果関係や相互作用を考慮に入れた理論的なアプローチが必要です。このような理論的考察を十分に行うことで、多重共線性が回帰分析の結果に与える影響をより適切に評価し、解釈することが可能になります。加えて、多重共線性が存在する場合でも、重回帰分析の利点の一つである潜在的な第三変数の影響を統制する能力を活用することができます。具体的には、基準変数と予測変数の両方に高い相関を持つ第三変数を統制することで、予測変数間の関係の複雑さを軽減し、結果の信頼性を向上させることができます。ただし、このプロセスにおいても理論的な仮定や仮説に基づく慎重なアプローチが必要です。最後に、多重共線性が特に問題となるのは、MRC（重回帰分析）の基本的な仮定が満たされない場合です。これらの仮定は主に3つのカテゴリーに分類され、�@エラー（残差得点）に関する仮定、�A誤った定式化に関する仮定、�B測定誤差に関する仮定が含まれます。これらの仮定が適切に満たされない場合、多重共線性が回帰分析に及ぼす影響はさらに大きくなり、結果の解釈や理論的な意義に疑問を投げかけることになります。このように、多重共線性は単なる技術的な問題にとどまらず、回帰分析の結果を基に理論的な説明や仮説検証を行う際に重要な課題となります。そのため、MRCを用いた分析では、多重共線性の影響を十分に考慮し、理論的検討と統計的手法を組み合わせることで、より信頼性の高い結果を得ることが求められるのです。