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誤差（残差）得点についての仮定

すでに標準誤差の推定の節で述べたように，誤差，すなわち残差得点は，被験者によって実際に観測された基準変数のスコアと，回帰方程式を使って被験者から予測したスコアの間のズレのことである。

統計的理由かつ解釈上のさまざまな理由によって，こうした誤差得点は.

�@平均がゼロで、

�A等分散性があり（すなわち，全予測変数の分散が等しい）、

�B予測変数は相互に無相関であり、

�C正規分布に従う，のが最良とされている。

さらに，外れ値の存在や極端な残差得点は望ましくない影響を引き起こす。

こうした誤差得点についての特徴は. MRCを評価するときに使えるし，こうした仮定から少し逸脱するぐらいなら,大きな問題にはならない。

さらに，刊行された論文は、ときおりこうした問題を評価するのに必要な情報を載せている。

だから，それらはここでは長々と論じないことにする。

しかし，その他の２つの仮定、すなわち誤った定式化と測定誤差については，本章で記載されている重要な注意点のほとんどに関与しているので，この２つのカテゴリーの仮定について論じよう。

誤った定式化

以下にあげる要件のいずれかに反する場合，誤った定式化が生じる。

�@変数どうしの関係は線形でなければならない、

�Aすべての関係のある予測変数が分析に含まれていなければならない、

�B関係ない予測変数は含まれてはならない。

最初の要件については. MRCは予測変数と基準変数の間に線形か曲線関係を想定している。

MRCにおいては線形関係のみが検出されるが，予測変数どうしの非線形関係および相互作用は，特定の変換を行うことで対応可能である。

定式化に関する残り２つの要件が設けられる主要な理由は. MRCで算出される指標のすべてが１つの重要な予測変数が分析に加わるだけで，劇的に変化してしまうことがあるからである。

だから，もし重要な変数が含まれていなかったら，得られた重回帰分析の指標は誤解を招くものになる。

無関係の変数を含むこともまた指標の値に影響を与えるが，もし本当に無関係な変数であればその影響は小さくてすむだろう。

しかし，無関係の変数が多すぎたら。統計的な有意差や交差妥当性を見出すのがむずかしくなる。

経験的あるいは理論的な検討によって, MRCにおいて使われる予測変数が選択される。

純粋に経験的な手続きについてのいくつかの反論，すなわち。理論的考察を伴わない単独で，経験的な手続きだけをとる問題についてはすでに論じた通りである。

こうした反論はMRCが説明目的で使われるときに，より重要になってくる。

純粋に経験的に予測変数を選択することは，あらゆる理論的変数，無関係な予測変数を排除してしまい，誤解を生むような、あるいは再現できないような結果を生み出してしまう。

純粋に経験的な選択というのはおそらく仮説を生み出すときにだけ使われるべきであり，そのときはおもな問題についてほとんど知識がないわけだから，結果は十分な注意をもって解釈されるべきである。

MRCにおける誤った定式化を避けるために最も有効な方法は，検証されるべき仮説と研究に含まれる変数の両方を管理するために，興味のある現象についてのフォーマルな理論を用いることである。

誤った定式化は，現象に対する理論が弱いときに最も問題になるとされている。

このようなケースでは. MRCの結果は決定的なものというよりもむしろ示唆的なものとして扱われるべきである。

しかし，理論や仮説がより高度に，経験的になるにつれて，追加の研究に含まれる変数の推定は改善され，結果の解釈の信頼性も，それに応じて増加するはずである。

誤差（残差）得点とは、観測された基準変数のスコアと回帰方程式によって予測されたスコアの間の差を指し、統計解析や解釈の観点から特定の仮定を満たすことが求められる。この誤差得点には、以下の特徴が望ましいとされている。まず、(1) 平均がゼロであることが挙げられる。これは、誤差の方向が正負に偏ることなく、全体として均衡が取れている状態を示す。また、(2) 誤差得点の分散が全予測変数において等しいこと、すなわち等分散性が求められる。この条件を満たすことで、モデルの予測精度が一定であり、どの範囲においても一貫した結果が得られることを保証する。さらに、(3) 誤差得点が予測変数とは相互に無相関であることも重要である。これは、予測変数が誤差の大きさや方向に影響を与えないことを意味し、モデルの公平性と信頼性を保つための重要な条件である。最後に、(4) 誤差得点が正規分布に従うことも理想的とされており、この条件を満たすことで、多くの統計手法が適用可能となる。また、外れ値や極端な残差得点の存在は分析に悪影響を与える可能性がある。これらの条件が満たされない場合、回帰分析の結果が誤解を招いたり、信頼性に欠けたりすることがある。したがって、これらの仮定を満たすようデータを適切に処理し、分析を進めることが必要である。

しかしながら、これらの仮定に多少の逸脱が見られても、統計分析に大きな問題を引き起こすことは少ないことが多い。実際、発表される論文においても、これらの仮定の適合性について詳細に評価した情報が掲載されていることがあるため、それらを参考にすることで適切な解釈を行うことができる。一方で、誤差得点に関する仮定以外に、モデルの正しい定式化や測定誤差といった問題も考慮する必要がある。これらの問題は、特に重回帰分析（MRC）を用いた研究において重要な影響を及ぼす可能性がある。ここでは、誤った定式化に焦点を当てて詳しく論じる。

誤った定式化は、以下のような要件が満たされない場合に生じる。(1) 変数間の関係が線形でなければならない、(2) 関係のある全ての予測変数が分析に含まれていなければならない、(3) 関係のない予測変数は含めてはならない、という3つの要件である。まず、最初の要件である線形性について説明する。MRCは、予測変数と基準変数の間に線形関係があることを前提としており、これにより解析が進められる。しかし、実際には変数間の関係が非線形である場合も多く、こうした非線形関係を無視すると、結果が誤解を招く可能性がある。この問題に対処するためには、特定の変換を適用することで非線形関係や相互作用を捉えることが可能である。例えば、対数変換や平方根変換、あるいは多項式回帰モデルの適用などが有効な手段として挙げられる。

次に、残りの2つの要件について説明する。すべての関係のある予測変数が含まれていなかった場合、分析結果が不完全である可能性が高い。これは、MRCで算出される指標が1つの重要な予測変数が含まれるかどうかによって劇的に変化するためである。したがって、重要な変数が分析から漏れていた場合、得られる結論は誤解を招きやすくなる。逆に、関係のない変数を含めることもまた問題となる。無関係な変数が少数であれば、その影響は限定的であるが、多数存在する場合は統計的な有意性や交差妥当性が損なわれる可能性がある。そのため、どの変数をモデルに含めるかについては慎重に検討しなければならない。

変数の選択に関しては、経験的な手法と理論的な手法の2つのアプローチがある。純粋に経験的な手法は、データに基づいて予測変数を選択するものであり、柔軟性が高い反面、理論的な根拠が乏しいため、誤解を招く結果を生むリスクがある。例えば、経験的な手法では、関係のある予測変数を見逃したり、無関係な変数を誤って含めたりする可能性がある。このため、経験的なアプローチは仮説生成の段階では有用であるが、説明目的の分析では注意が必要である。一方で、理論的な手法では、既存の知識や仮説に基づいて変数を選択するため、結果の解釈がより信頼できるものとなる。このような理論的手法を活用することで、MRCの結果がより堅牢で説得力のあるものとなる。

MRCにおける誤った定式化を回避するための最も効果的な方法は、検証されるべき仮説と分析に含まれる変数の両方を管理するために、興味のある現象についてのフォーマルな理論を構築し、それに基づいて解析を進めることである。理論が弱い場合、MRCの結果はあくまで示唆的なものとして解釈すべきであり、決定的な結論として扱うべきではない。しかし、理論が十分に発展し、それに基づく仮説が検証されるようになると、分析に含まれる変数の選択精度が向上し、結果の信頼性も高まる。このように、MRCを用いた研究においては、理論と経験的データのバランスを取ることが重要であり、それによって得られる結果が科学的な価値を持つものとなる。

以上のように、誤差得点の仮定や誤った定式化の問題は、統計分析の精度や解釈に直結する重要な要素である。これらを適切に考慮し、分析手法を選択することで、信頼性の高い結論を導くことが可能となる。