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生存曲線

打ち切りも考慮に入れつつ、時々刻々変化するイベント発生率を評価するなんて、そんな難しそうなことを考えるのは、とりあえずやめておきましょう。

その代わり、ある時点までイベントを発生しない確率を考えてみましょう。

ここでは、イベントを死亡として話を進めます。

ある時点までイベントを発生しない確率を「生存割合」と呼ぶことにして、この生存割合をグラフ表示することを考えます。

先の５人の例では、

Aさん：２年目に死亡
Bさん：３年目に死亡
Cさん：５年目打ち切り
Dさん：６年目に死亡
Eさん：８年目に打ち切り

となります。

最初の２年間は全員生存しているので、生存割合は１（＝１００％）です。

そして、２年目に５人中１人（Aさん）が死亡しています。

つまり、２年目の死亡割合は1/5なので、生存割合は、

1―1/5＝0.8

となります。

この時点で、B-Eさんの４人が残っています。

この４人は4/5＝0.8の確率で２年目まで生存していて、３年目にこの４人のうちの１人（Bさん）が死亡しています。

よって、３年目の生存割合は、

0.8×（１−1/4）＝3/5＝0.6

となります。

このようにして、横軸を時間（年）、縦軸に生存割合をとってグラフ表示したものを生存曲線と言います。

Kaplan先生とMeier先生が共同で開発したものなので、カプランマイヤープロットと言うこともあります。

これで、ある時点までイベントを発生していない確率も、打ち切りも考慮に入れて評価することができます。

生存曲線の特徴

ランダムな打ち切りとランダムでない打ち切り

たとえイベント発生率が時々刻々変化しようと、打ち切りがあろうと、ある時点までイベントを発生していない確率、つまり生存割合を、生存曲線によって正しく評価できるということでした。

しかし、一言で打ち切りと言ってもいろいろあって、実は、打ち切りの種類によっては、生存割合を生存曲線によって正しく評価できなくなってしまうこともあるのです。

打ち切りは、次の２つのタイプに分類されます。

ランダムな打ち切り：イベントの発生とは無関係な理由による打ち切り

ランダムでない打ち切り：イベントの発生に関係した打ち切り

ランダムな打ち切りには、例えば研究終了時点でイベントが発生していない場合が含まれます。

研究者が「この時点で研究を終了します」と決めていて、その時点で打ち切りとなるので、まさに「イベントの発生とは無関係な理由による打ち切り」になります。Eさんがこれにあたります。

他にも、転居などがランダムな打ち切りに含まれます。

引っ越すことによってイベントが発生しやすくなるとかしにくくなるとかったことは、特殊な場合でない限りあり得ないです。

それに対して、イベントの発生リスクが高い人（あるいは低い人）が選択的に打ち切りを受けている場合は、ランダムでない打ち切りとなります。

例えば、症状の重い人ほど転院するなどして追跡不可能となってしまうと、健康によくないイベントの発生リスクが高い人が選択的に打ち切りを受けることになります。

このような場合に生存曲線を描くと、生存割合を下げそうな人ほど打ち切りとなるので、実際よりも生存割合が高く推定されることになってしまいます。

したがって、

生存曲線は、打ち切りがランダムなら結果は正しいが、打ち切りがランダムでないなら結果は正しくないことになります。

逆に言うと、

生存時間解析では、打ち切りがランダムに起こっていることが前提としているのです。

推定精度

確率1/3を考えるとき、同じ1/3でも、「300人中100人」と「3人中1人」では意味が違います。

「300人中100人」の方がより確信が持てます。つまり推定精度が高いことになります。

生存曲線を描くとき、最初はイベントを発生していないので生存割合を１００％としましたが、最後はたった１人のデータにもとづいて生存割合を計算します。

ということは、時間がたつ（横軸の値が大きくなる）につれて、だんだん少ない人数で生存割合を推定することになるのです。

生存曲線は、時間がたつ（横軸の値が大きくなる）につれて推定精度が低くなっていくのです。

それから、打ち切りがランダムなら生存曲線の結果は正しいと言いましたが、いくらランダムな打ち切りと言っても、打ち切りは打ち切りです。

打ち切りが起こった時点まではイベントを発生していないことはわかりますが、イベントを発生するまでの時間がきちんとわかるわけではありません。

よって、打ち切りが多ければ、その分イベント発生までの時間に関する情報が少なくなってしまうのです。

情報が少なければ、やはり結果に対する信用度は低くなってしまいます。

打ち切りが多ければ多いほど、生存曲線の結果に対する信用度は低くなるのです。

生存期間中央値

生存曲線は、ある時点までイベントを発生しない確率をグラフで示してくれます。

しかし、往々にして、多くの人は、平均値や中央値のように、１つの数値として要約した指標を見たくなります。

そこで、生存期間中央値というものが１つの目安としてしばしば使われます。

生存期間中央値は、生存曲線での生存割合（縦軸の値）がちょうど５０％となる時間（横軸の値）のことを言います。

生存割合が５０％となるところでまっすぐ横に線を引いて、それが生存曲線にぶつかるところが生存期間中央値になります。

似たような指標として、「〇年生存割合」も目安として使われることがあります。

例えば、５年生存割合は、時間（横軸の値）が５年のところでまっすぐ上に線を引いて、それが生存曲線とぶつかるところとなります。

生存曲線は、特定の時点までイベントが発生しない確率、すなわち生存割合をグラフ化したもので、主に医療や生物統計学において用いられます。イベントの例としては、患者の死亡や病気の発症などが挙げられます。この生存曲線は、打ち切りも考慮しながら、ある時間における生存割合を正確に評価する手法です。打ち切りとは、研究対象が観察期間中にイベントを経験せずにデータ収集が中断されることを指します。例えば、研究終了時点でまだ生存している場合や、研究対象者が転居して追跡不能になった場合などがあります。打ち切りがあるデータを扱う際に、時々刻々と変化するイベント発生率を評価するのは複雑ですが、カプランマイヤープロットはその問題を解決するために、Kaplan先生とMeier先生によって開発されました。この方法は、時間が経過するごとに生存割合を計算し、その推移を視覚化することにより、直感的な理解を促進します。生存曲線を描くには、まず研究対象が観察期間中に生存している割合を順次計算していきます。例として、5人の参加者のデータを考えてみましょう。Aさんは2年目に死亡し、Bさんは3年目に死亡、Cさんは5年目で打ち切り、Dさんは6年目に死亡、Eさんは8年目で打ち切りとなったとします。まず、研究開始時点では全員が生存しているため、初期の生存割合は1、つまり100%です。2年目になると、Aさんが死亡し、5人中1人の死亡率は1/5となるため、生存割合は1-1/5=0.8（80%）となります。この時点で残りはB-Eさんの4人で、この4人が2年目まで生存している確率は4/5、すなわち0.8です。3年目にはこの4人の中からBさんが死亡し、死亡率は1/4です。したがって、3年目の生存割合は0.8×(1-1/4)=0.6（60%）となります。このように計算を続けることで、横軸を時間、縦軸に生存割合を取った生存曲線を描くことができます。この曲線は、時間の経過に伴いイベントが発生しない確率を視覚的に示すもので、医療現場で治療効果や疾患の進行状況を評価するために広く使用されています。生存曲線は、打ち切りの影響を受けることもありますが、正しく評価されるためには、打ち切りがランダムであることが重要です。ランダムな打ち切りとは、イベントの発生に無関係な理由によってデータ収集が終了するケースを指します。例えば、研究終了時点でまだイベントが発生していない場合や、参加者が引っ越したため追跡できなくなった場合がこれに該当します。Eさんがこの例に当てはまり、研究が終了するタイミングでイベントが発生せずに打ち切られた状態です。このような場合、生存曲線は正確な結果を示します。しかし、ランダムでない打ち切りが生じる場合、正確な評価が難しくなります。例えば、症状が重い患者が転院して追跡不能になるなど、イベント発生のリスクが高い人が選択的に打ち切られた場合がこれに該当します。このようなケースでは、生存曲線はイベント発生率を過小評価する可能性があり、実際の生存割合が高く推定されてしまいます。したがって、研究者は生存曲線を用いた解析を行う際に、打ち切りがランダムであるかどうかを十分に確認する必要があります。生存時間解析では、ランダムな打ち切りが前提となっており、この前提が崩れると結果の信頼性が損なわれることになります。生存曲線の正確性は、推定精度にも依存しています。推定精度は、観察対象の人数が多いほど高くなります。例えば、同じ1/3の確率であっても、「300人中100人」がそうである場合の方が、「3人中1人」のケースよりも確信度が高くなります。生存曲線を描く際、初期は全員が生存しているため生存割合は100%ですが、時間が経つにつれて生存者が減少し、最終的には少数のデータに基づいて生存割合を計算することになります。このため、時間の経過とともに推定精度は低下し、特に観察対象者が少なくなると結果の信頼性も低くなります。さらに、打ち切りの影響も無視できません。打ち切りはランダムであっても、情報の欠如が結果に影響を与えます。例えば、打ち切りが発生した時点ではイベントはまだ発生していないことが確認されますが、その後のイベント発生までの正確な時間はわかりません。したがって、打ち切りが多くなると、イベント発生に関する情報が不足し、結果への信頼度が下がります。打ち切りが多いほど、生存曲線の結果の信頼性が低くなるため、研究者はその影響を考慮して解釈を行う必要があります。また、生存曲線は特定の時間における生存割合を示してくれますが、多くの人が興味を持つのは平均値や中央値などの単一の数値として表される指標です。そのため、生存期間中央値という指標がよく用いられます。生存期間中央値とは、生存曲線において生存割合が50%となる時間のことです。生存割合が50%のところで横に直線を引き、その直線が生存曲線と交わる地点を確認することで、この中央値を得ることができます。この中央値は、医療の現場で治療の有効性や予後を評価するための重要な指標です。また、〇年生存割合という指標も使用されることがあります。例えば、5年生存割合は、横軸で5年のところに垂直線を引き、その線が生存曲線と交わる地点の生存割合を確認します。これにより、特定の期間における生存の見込みを把握することができます。生存曲線の描画や解析は、医療の現場だけでなく、公衆衛生や疫学研究、さらには産業分野のリスク解析にも応用されています。生存曲線を通じて得られる情報は、治療法の選定や介入効果の比較、病気の進行における危険因子の評価において重要な役割を果たしています。解析時には、生存曲線が示す結果が過小評価や過大評価にならないようにするため、データの質や打ち切りの種類に注意を払う必要があります。打ち切りがランダムでない場合は、補正手法を用いたり、分析モデルを工夫したりすることで、正確な生存曲線を得る努力が求められます。結果として、信頼性の高い生存時間解析を行うことができれば、治療効果や疾病管理における重要なインサイトを引き出し、患者の治療計画の立案や公衆衛生の向上に寄与することが可能となります。