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信頼区間と基準範囲

個々についての推測

統計学の講師がまだ現れず，他にすることがないとき，次に入ってくる学生が太りすぎかどうかを当ててみて下さい。

問題をシンプルにするために，その学生が男子でスポーツ選手ではないこと(したがって体重が100 kg超のオフェンスラインマンは除外します)を私たちは知っているものとしましょう。

そして私たちの任務は体重(kg)を身長(ｍ)の２乗で割った数値，体格指数ＢＭＩを当てることとします。

　ここで手がかりとなる少しばかりの統計的情報を示します。

スポーツ選手でない男子学生100人を調査すると, BMIの平均値は26.0でその標準偏差は3.9でした。

そのため，もし今まさにドアの外に立っている学生のＢＭＩを言い当てるとしたら，｢ペストな予測｣は26.0です。

実際，これはまさに“平均値”当てなければならないものの定義にぴったりです。

ＢＭＩが正確に26.0だとどれくらいの自信があるかと尋ねられたらどうでしょう？

｢あまりない｣と答えるのではないでしょうか。

事実, BMIが小数第一位まで丸められるものと仮定して，スポーツ選手でない男子学生のＢＭＩがちょうど26.0である割合は1％程度でしかないことを計算できます。

26.0という数値を推測するためのもう１つのやり方は，｢ＢＭＩは多分22から30の間だと思う｣ということです。

そのときその答えにどれくらいの自信があるでしょうか？　

22と30は平均から標準偏差１つ分離れたところの値であり，データの３分の２が平均値を挟んで標準偏差１つ分の値の間にあることを知っているので，その自信は，正しくおよそ３分の２ということができるでしょう。

もし，平均値からそれぞれ標準偏差２つ分離れた値である｢18から34の間｣と推測したなら，それは95％ほどの割合で正しいでしょう。

研究結果についての推測

同じようなことを調査研究の結果についても考えてみましょう。

統計学の講師が遅れているのは，講師がスポーツ選手でない100人の男子学生のＢＭＩに関する解析を終えようとしている最中だからです。

講師はその平均値についてなんと発表するでしょうか。

再びベストな推測は26.0ですが，調査の結果は変動することがわかっています。

そして変動によって答えの確信度が薄れることも知っているので，答えを範囲で与えようと考えました。

しかしここで私たちは異なる個人(病的な様子の野蛮人やジャンクフード中毒のフットボールファンなど)の間のＢＭＩがどう変わるのかではなく, BMIの平均が調査問でどう変わるのかを気にしています(ふとしたことから私たちは非常に多くの野蛮人のサンプリングを経験することになりますが)。

そのため，標準偏差ではなく標準誤差について考えたいと思います。

調査では，標準偏差をサンプルサイズの平方根で割った値である標準誤差は0.39です。

私たちの経験則では研究の結果の95％が平均値から標準誤差の２倍の範囲に入るので，講師の研究の結果は25.2から26.8の間にあるとすればそれが正しい可能性は大きいでしょう。

信頼区間と基準範囲

理由ははっきりしないのですが，私たちが個々の値について示した範囲は基準範囲とよばれ，研究結果の値の範囲は信頼区間とよばれます。

基準範囲はよく医師が使います。

例えば，血液中の何かの値，例えば白血球数などを検査して，それが基準範囲の外側にあった場合，医師はこの患者の白血球数は通常の値ではないと判断して，何が悪いのかさらに追加の検査を行おうと考えるでしょう。

信頼区間は研究の結果を解釈するのに役に立ちます。

例えば，｢メンタリング｣とよばれる教育指導プログラムが大学進学適性試験(SAT)のスコアに影響するかという研究について考察しているとします。

メンタリングによってＳＡＴのスコアが−2−10の95％信頼区間をもって４ポイント増加したという結果がわかりました。

明らかな点は，メンタリングによってスコアを悪化させることが実際あるということです(SATスコアが−2ポイント増加するということは２ポイント悪化することを意味します)。

そのため，私たちは学校にメンタリングの導入を勧めることはもちろんしないでしょう。

さらにこのメンタリングに関してさらなる研究を行わないことを提案するでしょう。

信頼区間は，メンタリングによるスコアの改善が，1600点満点で採点されるＳＡＴにおいて小さなベネフィットでしかなく，10ポイントを超えることはめったにないことを示しています。

つまり，メンタリングには学校全体への新プログラムとしてスタートするのに十分なベネフィットがないということです。

一方で，もし信頼区間が54まであったとしたら，メンタリングの効果についてはまだはっきりしないけれども，さらに研究を行うべきであることを結論付けるでしょう。

信頼区間と基準範囲は、統計学において非常に重要な概念であり、これらはデータの解釈や予測、さらには医療や教育など多くの分野で活用されています。まず、信頼区間とは何かを理解するために、個々の推測に基づく例としてBMI（体格指数）の話を考えてみましょう。ここでは、統計学の講師が現れるまでの間、学生のBMIを推測するという状況を例にとります。BMIは体重（kg）を身長（m）の2乗で割った値で、肥満や痩せの指標として使われる数値です。この場面では、学生が男子でスポーツ選手ではないという前提のもとで、私たちはそのBMIを予測しようとします。まず、100人のスポーツ選手ではない男子学生を調査したところ、BMIの平均値は26.0であり、標準偏差は3.9でした。この結果を基に、次に来る学生のBMIを予測すると、最も良い予測値、いわゆる「ベストな推測」は平均値である26.0ということになります。なぜなら、平均値というのは、全体の中で最も代表的な値を示すものであり、標本全体の中心を表すからです。

しかし、「その学生のBMIが正確に26.0だ」と断言する自信はそれほど高くありません。実際には、BMIがちょうど26.0である確率はわずか1％程度にすぎません。これは、標本における数値の分布が標準偏差を基に広がりを持っているためです。そこで、もう一つの推測の仕方として、「BMIはおそらく22から30の範囲にあるだろう」という予測が挙げられます。このように範囲で答えることで、より広い確率をカバーすることができます。この場合、22と30は平均値26.0から標準偏差1つ分離れた数値であり、データの3分の2がこの範囲内に収まることが知られています。つまり、この範囲内に学生のBMIが入る確率は約67％、すなわち3分の2程度だと言えます。

さらに確信度を高めるためには、より広い範囲を取ることができます。例えば、平均値26.0から標準偏差2つ分離れた値である「18から34の範囲」にBMIがあると推測した場合、その範囲内にBMIが収まる確率は95％に達します。これは、データの大部分がこの範囲内に収まることを示しており、この範囲を信頼区間と呼びます。信頼区間とは、得られたデータの中で、真の値が入ると期待される範囲のことであり、通常は一定の確率、例えば95％の信頼水準で表現されます。信頼区間が広いほど、確信度が高くなる一方で、範囲が広すぎると予測の精度が低くなります。このバランスが重要です。

次に、研究結果についても同様に信頼区間を用いた推測が可能です。講師が遅れている理由が、スポーツ選手でない100人の男子学生のBMIに関するデータ解析を行っているためだとしましょう。ここでも、最も良い推測は平均値26.0ですが、データのばらつきや変動があることから、平均値そのものだけでなく、その範囲も考慮しなければなりません。そこで、データの変動を示すために、標準偏差ではなく標準誤差を使います。標準誤差とは、標本の平均値のばらつきを示す指標であり、標準偏差を標本のサイズの平方根で割って求めます。この場合、標準誤差は0.39です。この値を基に、95％の信頼区間を計算すると、BMIの平均値は25.2から26.8の範囲にあると推測できます。このように、信頼区間を使うことで、データの範囲内でどの程度確からしいかを示すことができ、より確実な予測が可能になります。

では、信頼区間と基準範囲の違いについても考えてみましょう。基準範囲は主に医療の現場で使われ、個々の患者や個々の値についての判断に役立ちます。例えば、血液検査の結果における白血球数やコレステロール値などが基準範囲内にあるかどうかを確認する際に、基準範囲が利用されます。もし値が基準範囲の外にあれば、その値は「異常」と判断され、医師はさらに詳しい検査や診断を行う必要があると判断するでしょう。一方で、信頼区間は研究や統計的な解析に使われ、得られた結果がどの程度信頼できるかを示すために利用されます。例えば、教育分野での研究を考えてみましょう。メンタリングプログラムが大学進学適性試験（SAT）のスコアに影響を与えるかどうかを調べたとします。ある研究で、メンタリングによってSATのスコアが平均で4ポイント増加したという結果が得られたとしますが、その結果には95％の信頼区間が−2から10であると報告されました。

この場合、信頼区間が−2から10ということは、メンタリングによってSATのスコアが2ポイント減少する可能性もあるということを意味します。つまり、メンタリングがスコアを改善する効果があるかもしれませんが、逆に悪影響を与える可能性もあるということです。このような結果では、メンタリングを導入するための強い証拠とはなりませんし、さらに研究が必要だという結論に至るでしょう。信頼区間は、研究結果がどの程度の範囲内で起こり得るかを示す指標であり、その範囲が狭ければ狭いほど、結果に対する信頼性が高いとみなされます。逆に、信頼区間が広い場合は、データに対する不確実性が大きいと解釈されます。

例えば、信頼区間が10ポイント以内に収まる場合、メンタリングの効果は小さなものであり、大きなベネフィットが期待できないかもしれません。しかし、もし信頼区間が例えば54ポイントまで広がるような結果が出れば、メンタリングの効果についてはまだ明確ではなく、さらなる研究が必要であるという結論に至るでしょう。このように、信頼区間は研究結果を解釈する上で非常に重要な役割を果たし、結論を下すための指針となります。

一方、基準範囲は主に医師や医療従事者が患者の健康状態を評価する際に使われます。例えば、血液中のコレステロール値や血糖値などが基準範囲内にあるかどうかは、患者の健康状態を診断するための重要な指標です。基準範囲外に値がある場合、それは異常を示す可能性があり、追加の検査や治療が必要となる場合があります。医師はこの基準範囲を基に、患者の状態を評価し、適切な治療法を選択します。

このように、信頼区間と基準範囲は似たような概念に見えるかもしれませんが、その用途や目的は異なります。信頼区間は主に統計的な研究やデータの解析に用いられ、研究結果の信頼性や予測の精度を示します。一方、基準範囲は医療や臨床の現場で個別の診断や治療の判断に使用され、個々のデータが通常の範囲内にあるかどうかを評価するために使われます。