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平均値と中央値の比較

まずは次の新聞記事を読んでみましょう。

大学生の４人に１人、「平均値」理解せず。
数学力調査、中央値などと誤解、論理的思考力乏しく
大学生の４人に１人は「平均値」の意味を正しく理解していない。
数学者でつくる社団法人「日本数学会」（東京）が大学生約6000人を対象に行った初の数学力テストで、基礎知識や論理的思考力が乏しい学生が多数いることが分かった。
昨年４―７月、国公私立大４８校で、新入生を中心に統計や論理、代数など５分野から小中高校で習う基本問題を出題、所属学部やベネッセコーポレーションが算出した入試難易度などと合わせて分析した。
理工系の学生が約四割を占めた。
小学校６年で学ぶ平均値の定義と性質を尋ねた問題の正答率は７６．０％。
中央値や最頻値との誤解が目立ち、理工系学部でも１８．０％が不正解だった。

大学生の４人に１人は平均値を理解していない・・・、これは由々しき事態です。

それに、平均値を理解していたとしても、平均値の比較については誤解している人も少なからずいるように思います。

平均値と中央値の値が離れている場合はデータの分布に偏りがある

A−Iさんの９人の年収が以下の通りだっだとします。

Aさん　４００万円
Bさん　５００万円
Cさん　５００万円
Dさん　６００万円
Eさん　６００万円
Fさん　６００万円
Gさん　７００万円
Hさん　７００万円
Iさん　８００万円

この中で、年収６００万人の人が３人で一番多くなっています。

このように、人数が最も多いところの値を最頻値と呼びます。

では、この９人の年収の平均値と中央値を計算してみましょう。

平均値は、９人の年収を全部足して、それを人数（９人）で割ればよいのです。

つまり、

平均値＝（４００＋５００＋５００＋６００＋６００＋６００＋７００＋７００＋８００）／９＝６００（万円）

となります。

中央値は、

年収を少ない順あるいは多い順に並べたときのちょうど真ん中にくる値のことです。

９人の真ん中は５番目なので、中央値は、年収が少ない方から５番目の６００（万円）になります。

平均値：すべてのデータの値を足したものをデータの数で割った値

中央値：データを小さい順（大きい順）に並べたときの真ん中の順番になったデータの値

さて、ここで、さきほどの９人にIT企業の社長のJさんが加わったとしましょう。

Jさんの年収は４６００万円です。

Jさんを加えた１０人の年収は分布が偏っています。

実際に計算すると、１０００万円になります。

しかし、年収が１０００万円を超えているのはJさんたった１人だけです。

他の９人の年収は４００―８００万円の間で、１０００万円を下回っています。

これでは、平均値がこの１０人の年収を代表する値としていかがなものか、と思ってしまいますよね。

平均値を求めればそれでよいということではないのです。

では、中央値はどうでしょう。

人数が１０人なので、年収を少ない順に並べたときの真ん中にくるのは、５番目と６番目の人です。

２人いるので、この２人の年収を足して２で割ったものが中央値になります。

５番目の人も６番目の人も年収が６００万円なので、中央値は６００万円になります。

最初の９人のときと同じ値です。

とびぬけて年収の多い人が１人加わっただけなので、年収を代表する値としては、９人のときも１０人のときもそんなに変わらない方がよいような気がしますよね。

したがって、

データの分布に偏りがある場合、平均値よりも中央値の方が適切に分布を代表する値を示す

のです。

逆に言うと、平均値と中央値の値がかけ離れている場合には、データの分布に偏りがあると考えられるのです。

特に、ここで示した例のように、平均値の方が中央値よりも大きいときには、とても大きな値をとる少数のデータがあると考えられます。

逆に、平均値の方が中央値よりも小さいときには、とても小さな値をとる少数のデータがあると考えられるのです。