▼▼▼▼▼▼▼▼
チャンネル登録はこちら

多次元尺度法

多次元尺度法（計量、非計量）は、データの個体間の類似度、あるいは距離を求め、そのデータを２次元平面上にプロットする方法でデータの構造やパターンの形成などを察する方法です。

MDS（multi-dimensional scaling）とも呼ばれています。

MDSは、個体間の親近性データを２次元あるいは３次元空間に、類似したものを近く、そうでないものを遠くに配置する方法です。

MDSは計量MDSと非計量MDSに大別されます。

計量MDSとは距離データを低次元に配置する方法で、非計量MDSは類似度や相関係数行列のような厳密には距離とは言えないが、距離に変換可能なデータを低次元に配置する方法です。

MDSにもいくつかのアルゴリズムが提案されていますが、その中で最も古典的なのは1950年代にTorgersonが提案した方法です。

計量MDSでは、比率尺度のデータの個体間の親近性を距離として計測し、距離データをユークリッド空間上で個体を配置することを前提としています。

しかし、心理学などで得られた間隔尺度により親近性のデータは距離の性質を満たさないという問題があります。

距離の性質を満たさない類似性データも視野に入れ、計量MDSを発展させたものが非計量MDSです。

非計量多次元尺度法にも、いくつかのアルゴリズムが提案されています。

非計量MDSは、個体間の類似度あるいは距離をもとに配置すべくｋ次元における距離を推測する方法です。

多次元尺度法（Multidimensional Scaling, MDS）は、データ間の類似度や距離をもとに、データを低次元空間上に配置し、その構造やパターンを視覚的に理解するための統計的手法です。この方法は、データを2次元や3次元の平面上にプロットし、直感的にその関係性を捉えることが可能です。MDSは計量MDSと非計量MDSに大別され、それぞれ異なるアプローチでデータの類似性を距離として扱います。計量MDSは、比率尺度など距離として直接解釈できるデータをもとに、個体間の親近性を低次元空間に配置します。たとえば、都市間の地理的な距離や時間などが対象となります。一方、非計量MDSは、類似性データや相関行列のように、距離としての性質を必ずしも満たさないデータを扱います。このようなデータを距離に変換し、低次元空間に再現する方法が特徴的です。MDSの主な目的は、データ間の関係性を保存しつつ高次元データを低次元に縮約することであり、データの複雑な構造を簡潔に表現することにあります。計量MDSでは、ユークリッド空間における距離を前提としており、距離行列をもとに個体を配置します。この際、配置の基準となる距離行列の主成分を計算し、それを低次元空間での配置に反映させることが一般的です。これに対して非計量MDSでは、距離の性質を厳密には満たさないデータ、たとえば心理学実験で得られる感覚的な類似性のデータやアンケート結果のスコアリングなどを利用します。この場合、データを直接距離として解釈するのではなく、データの順序情報や相対的な関係性を保持しながら距離として再構成します。これにより、データが持つ本来のパターンや構造を忠実に表現できるようになります。多次元尺度法の歴史を遡ると、1950年代にTorgersonが提案した方法が最も古典的であり、この方法は今日でも計量MDSの基礎として広く利用されています。Torgersonの手法は、距離行列の主成分分析を利用して低次元空間への射影を実現するものであり、計算の単純さと結果の解釈のしやすさが特徴です。一方で、非計量MDSの発展は、心理学や社会科学の分野で得られる主観的なデータの分析ニーズに応える形で進化しました。この方法では、距離の性質を満たさないデータを低次元空間に配置するためのアルゴリズムが開発され、その中でも最もよく知られているのがKruskalのストレス関数を用いたアプローチです。ストレス関数は、元のデータと低次元空間における配置との適合度を測る指標であり、値が小さいほど配置の精度が高いことを意味します。この関数を最小化することで、非計量MDSは最適な配置を見つけ出します。また、計量MDSと非計量MDSのどちらを使用するかは、データの性質や分析目的によります。計量MDSは物理的な距離や正確な数値データを扱う際に有効であり、例えば地理的な分析や工業製品間の特性比較などで使用されます。一方、非計量MDSは、心理学的な調査データや市場調査における顧客の嗜好分析など、主観的なデータを扱う際に適しています。このようにMDSは、計測可能な物理的なデータから主観的な感覚データまで幅広い領域で応用可能であり、その柔軟性が大きな利点といえます。さらに、近年では計算能力の向上とともに、多次元尺度法のアルゴリズムも進化を遂げています。例えば、非計量MDSでは、ストレス関数の最適化において、従来の反復的な計算手法に加え、遺伝的アルゴリズムや粒子群最適化などのメタヒューリスティック手法が導入されるケースも増えています。これにより、従来の手法では困難だった大規模データの解析や、より複雑な構造を持つデータの可視化が可能となっています。さらに、MDSの応用範囲は心理学や社会科学だけにとどまらず、マーケティングやバイオインフォマティクス、教育研究、エンターテインメント産業にまで広がっています。具体例として、製品間の競争状況を視覚化し、ブランドポジショニングを分析する際や、遺伝子発現データの類似性を可視化する際にMDSが利用されています。また、教育分野では、学生間の学習スタイルの類似性や、授業評価データのパターン分析にMDSが活用されています。このように多次元尺度法は、データの種類や分析目的に応じて柔軟に適用できる強力なツールであり、データ科学の進展に伴い、さらなる発展が期待されています。