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判別分析

私たちは、五感を通じて入力される膨大なデータを処理しています。

その中で最も多いのは、識別（discrimination）、分類（classification）、認識（recongnition）に関する処理です。

例えば、新聞や本などを読むときには、視覚を通じて入力されたデータと脳の中のデータ（学習済みのデータ）との照合を行い、その文字の読み方や意味などを識別・認識します。

識別に関する能力は人間のみならず、他の動物も持っています。

識別・認識に関することを機械的に実現する研究分野がパターン認識（pattern recognition）です。

パターン認識の例としては、郵便番号による手紙の自動分類や指紋・顔の機械的な照合などがあげられます。

パターン認識では、コンピュータに記憶させたデータと識別すべきデータとの一致度を何らかのモデルによって計算します。

その中で、最も古典的な手法は判別分析（discriminant analysis）です。

判別分析は、個体（あるいは対象）がどのグループに属するかが明確である学習データを用いて判別モデルを構築し、そのモデルを用いて所属不明の個体（テスト用のデータ）がどのグループに帰属するかを判別する方法です。

判別分析は、線形判別分析と非線形判別分析に大別されます。

また、所属不明の個体が２つのグループのいずれに属するかを判別する問題を２群判別分析、３つ以上のグループのいずれに属するかを判別する問題を多群判別分析と呼びます。

回帰分析の場合、外的規準が量的データであるのに対し、判別分析の外的規準は質的データです。

機械学習の分野では、外的規準を用いた学習をスーパーバイズド学習（supervised learning）とよびます。

線形判別分析では、グループ（群）分けの境界が直線あるいは超平面である場合に、線形関数を用いてグループの所属を判別する方法です。

フィッシャー（Fisher）が1930年中頃に提案した線形判別関数では、データが多変量正規分布にしたがい、グループの母分散が等しいという仮定のもとで、群間の分散と群内の分散の比を最大化することで係数を求め線形判別関数を求めます。

群間分散と群内分散の比を最大にするには、係数で偏微分を行い最大化する方程式を解きます。

第一固有ベクトルを第一判別関数の係数とします。

判別分析（discriminant analysis）は、個体がどのグループに属するかを推定するための統計的手法であり、学習データを用いて判別モデルを構築し、それを用いて未知のデータのグループ所属を判定することを目的とします。この手法は、データに基づいた意思決定を支援し、さまざまな分野で活用されています。判別分析は大きく分けて線形判別分析と非線形判別分析に分類され、さらに分析対象が2つのグループに限られる場合を二群判別分析、3つ以上のグループを対象とする場合を多群判別分析と呼びます。判別分析は、特に分類の問題において重要な役割を果たし、外的規準として質的データを用いることが特徴です。この点で、目的変数が量的データである回帰分析とは異なります。機械学習においては、外的規準に基づく学習プロセスはスーパーバイズド学習（supervised learning）と呼ばれ、判別分析もこの範疇に含まれます。スーパーバイズド学習とは、入力データとそれに対応する正解ラベルが与えられた状態でモデルを訓練し、未知のデータに対して正解ラベルを推定する学習方法です。

判別分析の中でも、線形判別分析（Linear Discriminant Analysis: LDA）は、最も基本的かつ古典的な手法の一つです。LDAは、データの境界が直線や超平面で表現できる場合に適しており、複数の変数に基づいて対象のグループを判定します。具体的には、LDAでは、群間分散と群内分散の比を最大化することで、グループ間の違いを強調し、分類の精度を向上させます。群間分散とは、各グループの平均の間のばらつきを指し、群内分散とは、各グループ内のデータのばらつきを表します。この比率を最大化するために、LDAは、線形関数の係数を求めるための最適化を行います。最適化には偏微分を用い、群間分散と群内分散を最大化する方程式を解くことで、最適な係数を導き出します。これにより、第一固有ベクトルを求め、そのベクトルが第一判別関数の係数として使用されます。LDAは、1930年代にフィッシャー（R. A. Fisher）によって提案され、その後、多くの研究や応用が進められました。フィッシャーの線形判別関数は、データが多変量正規分布に従い、各グループの母分散が等しいという仮定のもとで構築されます。この仮定が成り立つ場合、LDAは非常に効果的な分類手法として機能しますが、仮定が崩れる場合には精度が低下することもあります。

LDAの応用例としては、郵便番号の自動分類や指紋認証、顔認証などが挙げられます。例えば、郵便番号の自動分類では、手書きの郵便番号がデジタル化され、LDAによって各数字がどのカテゴリに属するかが判定されます。同様に、指紋認証では、登録された指紋データと入力された指紋との一致度が計算され、LDAを用いて照合結果が判定されます。これらの応用において、LDAは、正確で高速な分類を可能にするため、実用的な意義が非常に高いです。

一方、非線形判別分析は、データの分布が線形でない場合や、複雑なパターンが存在する場合に使用されます。非線形判別分析では、より柔軟なモデルを使用してデータを分類し、正確な判定を行います。カーネル法（kernel method）などが非線形判別分析の一例であり、高次元空間にデータを写像することで、非線形なパターンを線形的に分類することが可能になります。このように、非線形判別分析は、より高度な分析を必要とする場面で使用され、機械学習やデータ分析の分野で重要な位置を占めています。

判別分析の精度を向上させるためには、いくつかのポイントがあります。まず、学習データの質が高いことが重要であり、適切な特徴量を選択することが求められます。特徴量選択のプロセスでは、分類精度に寄与しない変数を除外し、重要な変数だけを残すことで、モデルの精度と効率を向上させます。また、データの前処理も重要であり、異常値の除去やデータの正規化が行われます。さらに、モデルの評価には交差検証（cross-validation）が使用され、モデルが未知のデータに対しても高い精度を維持できるかを確認します。

近年、判別分析は機械学習の分野でも再注目されており、他のアルゴリズムと組み合わせて使用されることもあります。例えば、LDAは、サポートベクターマシン（SVM）やニューラルネットワークなどの高度なモデルの前処理として使用されることがあります。これにより、次元削減を行い、モデルの計算負荷を軽減することが可能です。次元削減とは、データの特徴量の数を減らし、重要な情報を保持しながらデータを簡素化するプロセスを指します。このプロセスは、計算資源の節約だけでなく、過学習を防ぐ効果もあります。

また、判別分析は、マーケティングや医療分野でも幅広く利用されています。マーケティングでは、顧客を複数のセグメントに分類し、それぞれのセグメントに最適な戦略を立案するために使用されます。医療分野では、患者の診断や治療方針の決定において、判別分析が活用されます。例えば、ある疾患にかかっているかどうかを判別するためのモデルを構築し、診断精度を向上させることが可能です。

まとめると、判別分析は、学習データをもとに個体のグループ所属を推定する強力なツールであり、線形判別分析と非線形判別分析という2つのアプローチがあります。LDAは、特にデータが線形である場合に有効であり、群間分散と群内分散の比を最大化することで分類の精度を高めます。一方、非線形判別分析は、より複雑なデータに対応するために使用され、柔軟な分類を可能にします。判別分析は、郵便番号の自動分類、指紋認証、マーケティング、医療など、さまざまな分野で実用化されており、その重要性はますます高まっています。また、機械学習やデータ分析の進展に伴い、判別分析は他の手法との組み合わせによってさらに効果的な分析手法として活用され続けています。