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統計学における離散型分布【統計解析講義基礎】 | 統計解析 - Python・R・エクセルを使った講義で最速マスター

統計学における離散型分布【統計解析講義基礎】

統計学における離散型分布【統計解析講義基礎】


統計学における離散型分布【統計解析講義基礎】

 

確率変数Xの値が有限個または可算無限個の離散値のみをとるとき、Xを離散型確率変数とよびその分布を離散型分布といいます。

 

離散型分布の確率関数は、fx(xk)=P(X=xk), k=1, 2, ・・・

 

によって与えられます。

 

代表的な離散型分布に以下があります。

 

ベルヌーイ分布

 

コインを1枚投げた結果(表か裏)やある病気にかかっているか否かなど、結果が2通りの場合の分布が当てはまります。

 

この分布の確率関数は、fx(k)=pk(1−p)1-k, k=0,1

 

で与えられます。

 

この分布の平均はp、分散はp(1−p)です。

 

二項分布

 

サイコロをn回投げたとき1の目が出る回数や、ある病気にかかっているn人の患者に薬を投与したとき、その病気が治った人数などの分布が当てはまります。

 

この分布の確率関数は、fx(k)=nCkpk(1−p)n-k, k=0, 1, ・・・,n

 

で与えられます。

 

この分布の平均はnp、分散はnp(1−p)です。

 

例えば、表の出る確率が0.3のコインを20回投げたときの表が出る回数Xの分布は図のようになります。

 

ポアソン分布

 

二項分布でnp=λ(一定)、nが大きい(すなわちpが小さい)ときポアソン分布に近づきます。

 

交通事故件数などがこの分布にしたがうことが知られています。

 

確率関数は、fx(k)=exp(−λ)λk/k! k=0, 1, 2, ・・・

 

で与えられ、λは正の定数です。この分布の平均はλ、分散もλです。

 

例えば、1日平均5件の電話がかかってくる会社のある日の電話がかかってくる件数Xの分布は図のようになります。

 

幾何分布

 

1枚のコインを繰り返し投げるとき、初めて表が出るまでに出た裏の回数などの分布が当てはまります。

 

確率関数は、fx(k)=p(1−p)k, k=0, 1, 2, ・・・

 

で与えられます。この分布の平均は(1-p)/p、分散は(1-p)/p2 です。

 

例えば、サイコロ投げにおいて、初めて6の目が出るまで投げ続けたとき、6以外の目が出た回数Xの分布は図のような幾何分布になります。

 

負の二項分布

 

1枚のコインを繰り返し投げるとき、r回目の表が出るまでに出た裏の回数などの分布が当てはまります。

 

確率関数は、fx(k)=r+k-1Ckpr(1−p)k, k=0, 1, 2,・・・

 

で与えられます。この分布の平均はr(1-p)/p、分散はr(1-p)/p2です。

 

例えば、表の出る確率が0.4のコインを繰り返し投げるとき、10回目の表が出るまでに出た裏の回数Xの分布は図のような負の二項分布になります。

 

超幾何分布

 

例えば箱の中にN個のボールがあり、そのうちのM個は白いボールであり、N−M個は赤いボールであるとします。

 

この箱の中からn個のボールを取り出したとき、その中に含まれる白いボールの数の分布が超幾何分布です。

 

確率関数は、fx(k)=MCkN=MCn-k/NCn

 

この分布の平均はnM/N、分散はnM(N−M)(N−n)/[N2(N−1)]です。

 

例として、全部で100本あるくじのうち25本が当たりであるとき、20本くじを引く(ただし、引いたくじは戻さない)とその中に含まれている当たりくじの本数Xの分布は図のようになります。

 

多項分布

 

互いに排反な事象A1, ・・・,Amで事象Aiが起こる確率をpiとしたとき、n回の試行で事象Aiがki回(i=1, 2, ・・・,m)起こる確率分布です。

 

確率関数は、fx(k1, k2, ・・・,km)=n!/k1!k2!・・km!×p1k1p2k2・・pmkm

 

で与えられます。ここに、k1+・・・+km=n, p1+・・・+pm=1 です。

 

この分布においては、Xiの平均はnpi、分散はnpi(1-pi) となります。

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統計学における離散型分布【統計解析講義基礎】

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