一要因の繰り返しデータにおける一元配置分散分析

一要因の繰り返しデータにおける一元配置分散分析を以下の事例で行ってみましょう。

朝昼夕と１日３回行う実験を、２日間行ったところ以下の結果が得られました。

データは一要因（実験日）の3回繰り返しです。

実験日朝昼夕平均

１日目511288588

２日目115479987

先ず、このデータを見ただけでわかることがあります。

それは、朝昼夕の３回のばらつき（同一実験日内のばらつき）が大きく、

実験日間のばらつきは小さい（平均が88と87）ということです。

これを定量的に表現するのが一元配置分散分析です。

実験日朝昼夕平均全平均

１日目51128858887.5

２日目115479987

先ず、実験間誤差について考えてみます。

平均と全平均との差が、実験間誤差を反映する成分ですので、以下のようになります。

実験日朝昼夕

１日目0.50.50.5

２日目-0.5-0.5-0.5

次いで、実験内誤差について考えてみます。

個々の値と平均との差が、実験内誤差を反映する成分ですので、以下のようになります。

実験日朝昼夕

１日目-3740-3

２日目28-4012

一元配置分散分析表の作成

ここまで準備が出来たら、次に分散分析表を作成します。

先ず、以下のよう表枠を作成します。

自由度は、１を引くことにより算出されます。

実験は２日行っているので、実験間は２−１＝１　となります。

実験内は、朝昼夕の３回なので、３−１＝２ですが、これを２日行っていますから、

（３−１）×２＝４　となります。

全体の自由度は、データが全部で６個ですから、６−１＝５　となります。

次いで平方和ですが、実験間平方和は、実験間誤差の成分の平方和になります。

(0.5)^2＋(0.5)^2＋(0.5)^2＋(-0.5)^2＋(-0.5)^2＋(-0.5)^2＝1.5 となります。

実験内平方和は、実験内誤差の成分の平方和になります。

(-37)^2＋(40)^2＋(-3)^2＋(28)^2＋(-40)^2＋(-12)^2＝5506 となります。

全平方和は、これらの和なので、1.5＋5506＝5507.5 となります。

なお平方和の計算をExcelで行う場合には、＝SUMSQ（範囲）とすると、指定した範囲の平方和を計算してくれるので、SUMSQというExcel関数が便利です。

分散は、平方和を自由度で割って求めます（全体は不要）。

F値は、実験間分散を実験内分散で割ります。

p値は、第1自由度が1、第2自由度が4のF分布のF値より上側確率を計算します。

Excel関数ではFDISTという関数で計算できます。

引数は、＝FDIST（F値、第1自由度、第2自由度）で計算できます。

以上を実行すると、以下の分散分析表が得られます。

平方和を見ると、実験間が1.5と小さいのに対し実験内は5506と大きいです。

最初の見た目通りということですが、この平方和により見た目を定量的に表現することができます。

F検定の帰無仮説は、「実験間に差がない」ですが、p=0.9752　ですので、この帰無仮説は棄却されません。

統計ソフトでは、上のような分散分析表を瞬時に出力することができますが、それぞれの項目をどのように計算したかまでは教えてくれません。

上の例で構いませんので、実際にExcelでこのような分散分析表を作成すると、分散分析表の出力の意味を肌感覚で理解することができます。