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ガウスの誤差分布（正規分布）

ドイツが生んだ大数学者、C.F.ガウス（1777-1855）は、観測誤差論の定礎者としても世に知られています。

ガウスの誤差論における最大の功績は、最小２乗法を確率論と結びつけ、今日よく知られている誤差分布（正規分布）を導き出したことです。

もともと正規分布それ自体は、すでにドモワブル（1667-1754）が２項分布の連続極限分布として導き出しており、また最小2乗法もガウスより早くフランスのルジャンドル（1752-1833）が考案していました。

もっとも、ガウスがルジャンドルに対して、執拗に最小2乗法の先取権を争ったことは有名なエピソードです。

しかし確率分布としての誤差分布を導き出したことは、間違いなくガウスの功績です。

算術平均が最確値であるためには

ガウスは、1809年に公刊された「円錐曲線を描いて太陽の周りを運行する天体の運動理論」と題する著書の２巻３節でこの分布をはじめて明示しています。

ここで彼は、誤差（観測値と真の値との差）は、正・負の双方の場合が同時に生起するということ、また誤差は大きくなるほどその生起確率が小さくなるという前提をおきました。

そのうえで、最確値（maxime probabile valoum）すなわち真の値を思われるもっとも確からしい観測値の組み合わせは、これまでの習慣から算術平均でなければならず、また誤差の平方和を最小にするものでなければならないと述べています。

つまりガウスは、算術平均が最確値となり、また誤差の平方和が最小になるためにはどのような誤差分布が求められるべきかを問題とし、その結果、誤差分布としての正規分布を導き出したわけです。

誤差が正規分布するから算術平均が最確値になるという論理ではなく、算術平均が最確値であるためには誤差が正規分布でなければならないという論理です。

統計学では、データ分析に際し正規分布を前提とする場合が多いようですが、ガウスのこの論理は、その妥当性が改めて問い直されるべきであることを教えてくれます。