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パス係数の残差と誤差の分散

パス分析では重回帰分析を各内生変数に対して実行する。

重回帰分析の計算で算出される寄与率は,内生変数が直接影響する変数によって説明された分散の量を表している。

パス解析のレポートにおいて,それぞれの寄与率は表や文中でよく報告される。

パス図（有効なモデルの図）では逆の傾向がある,つまり,説明されないまま残っている分散の量が示される。

パス図において説明されなかった分散を示すには,伝統的な2つの方法がある。

重回帰分析では,それぞれのケースにおいて従属変数の観測値と予測値の間のズレを残差という。

残差は予測におけるエラーなのだ。

より古い伝統的な方法は,残差を標準化するものである。

そうすることによって,分散を1 にし（分析における他の変数のように）,内生変数に対する残差変数の影響を報告する。

残差のパス係数は,他の係数の表記法と同様に矢印の上に表記される（実際には,残差を標準化する必要はない。

残差パス係数は（1−寄与率）の平方根である。このときの寄与率は関係する重回帰分析の寄与率である）。

Asher （1983）とPedhazur （1982）は,残差パス係数の例を示している。

2 つ目のアプローチは,こちらはとてもよく使われる方法だが,誤差の分散を表記する方法である。

もしこの方法をとるなら,分散の数値は矢印のあと（つまり,矢印の向きの反対側）に記される。

このアプローチは共分散構造分析の結果の表し方と同じものである。

説明されなかった分散を示す方法もある。

図が複雑になりすぎるのを避けるため,残差パス係数や誤差分散が省かれることもある。

パス分析では重回帰分析を用いて各内生変数に対する寄与率を算出し、内生変数が直接影響する外生変数や他の内生変数にどの程度の影響を及ぼしているかを明らかにする。これにより、観測されたデータがどの程度モデルに適合しているかを評価できる。この寄与率は、内生変数が説明される分散の割合を示しており、通常、パス解析のレポートでは表形式や文章中で頻繁に報告される。例えば、「内生変数Aは外生変数Bによって50%説明される」といった形で示されることが一般的である。しかし、パス図ではその逆の情報、すなわち説明されなかった分散、つまりモデルで捉えきれない部分の割合を示す傾向がある。この説明されなかった分散を示すには、伝統的に2つの方法が用いられる。1つ目の方法は、重回帰分析の結果として得られる残差を用いるアプローチである。重回帰分析において、各ケースで従属変数の観測値と予測値の間の差異は残差と呼ばれ、この残差は予測におけるエラーを意味している。残差は、内生変数が予測において完全には説明されていない部分を示し、標準化によって分散を1に統一することで、他の変数との比較が容易になる。標準化された残差は分析結果の中で特に重要な役割を果たし、内生変数に対する残差の影響を評価する際に用いられる。このアプローチでは、残差のパス係数を（1−寄与率）の平方根として計算し、寄与率が示すモデルの説明力に基づいて、説明されない部分を明示する。例えば、寄与率が0.64の場合、残差パス係数は√(1-0.64)＝0.6となる。Asher（1983）やPedhazur（1982）は、この残差パス係数の具体例を提示しており、残差の重要性を強調している。残差パス係数は、パス図上で通常、矢印の上に記載されるが、このとき必ずしも残差を標準化する必要はない。標準化せずとも、分散の絶対値で表記することで同様の情報を伝えることができる。一方、もう1つのアプローチは誤差の分散を直接表記する方法であり、この方法は現代のパス解析で広く使用されている。誤差分散は、モデルが説明できなかった部分の大きさを数値で示すもので、矢印の向きとは反対側に記載される。例えば、内生変数Cに対する誤差分散が0.36である場合、これはモデルがCを36%説明できていないことを意味し、その値が直接パス図上に記載される。このアプローチは、共分散構造分析（Covariance Structure Analysis）の表記法と一致しており、複雑なモデルにおける説明力や適合度を明確化するために適している。共分散構造分析においては、パス図や結果報告の中で誤差分散が重要な情報として取り扱われ、モデルの適合度を評価する一助となる。ただし、図が複雑になりすぎる場合には、残差パス係数や誤差分散の表記が省略されることもある。この省略は、図表の視認性を保つための合理的な判断である場合が多いが、同時に重要な情報が省かれる可能性もあるため、研究者はその選択について慎重であるべきである。これらの方法のいずれを選択するかは、研究の目的やモデルの複雑性、さらには読者の理解を考慮した上で決定されるべきである。特に、モデルの説明力や適合度を強調したい場合には、誤差分散を明示する方法が推奨されることが多い。さらに、残差パス係数と誤差分散のどちらを用いるにせよ、これらはモデルの適合性や妥当性を示す重要な指標であるため、レポートや図表の中で適切に記載されることが求められる。また、これらの情報を正確に解釈するためには、重回帰分析や共分散構造分析の基礎的な理解が必要であり、研究者はその背景知識を十分に持つことが重要である。以上のように、パス分析における残差と誤差分散は、モデルの説明力や適合性を評価する上で不可欠な要素であり、その報告方法や活用方法は研究目的や読者層に応じて適切に選択されるべきである。