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統計学におけるローレンツ曲線【統計解析講義基礎】 | 統計解析 - Python・R・エクセルを使った講義で最速マスター

統計学におけるローレンツ曲線【統計解析講義基礎】

統計学におけるローレンツ曲線【統計解析講義基礎】


統計学におけるローレンツ曲線【統計解析講義基礎】

 

度数分布表を活用すれば、所得分配の不平等度や人口集中の程度などを視覚的に捉える図、すなわちローレンツ曲線(Lorenz Curve)を描くことができます。

 

ローレンツ曲線とは、所得、人口、販売高などの、一定のグループへの集中の度合いを観察できる曲線のことです。

 

所得分配に関するローレンツ曲線の描き方を説明します。

 

表は、50人からなる会社の1ヶ月の給与に関する度数分布表で、50人の月間平均給与を低い順に並べて、5つの階級に分類しました。

 

「所得」の列は、各階級ごとに、その階級に所属する社員が受け取る給与の総額を示しています。

 

したがって、この列の値は、(階級値)×(度数)で求められます。この列の総和は、すべての社員に支払われた給与総額になります。

 

「累積所得」とは「所得」の累積額、そして「累積相対所得」は、所得の総和(総所得)に対する累積所得の比率を示しています。

 

表をもとに、横軸に累積相対度数、縦軸に累積相対所得をとり、各点をプロットして直線で結んだものがローレンツ曲線です。

 

所得に関するローレンツ曲線はとくに、所得分配線とも呼ばれています。

 

ローレンツ曲線が原点と(1,1)点を結ぶ45度線に近いほど所得分配は平等であり、逆に、45度線から離れるほど所得分配は不平等となります。

 

なぜかというと、まず「所得分配が完全に平等」とは、すべての社員がまったく同一の給与を支払われている場合です。

 

この場合、総所得に対する各個人の所得の割合はすべて一定となり、

 

Aさんの所得/総所得=Bさんの所得/総所得=・・・=1/社員の総数

 

という関係が成立します。

 

この場合、ローレンツ曲線は45度線となります。このことから、45度線は完全平等線(もしくは均等分配線)を呼ばれます。

 

一方、「所得分配が完全に不平等」とは、(非現実的ですが)1人を除いたすべての社員は給与を支払われず、1人だけが給与を支払われる場合です。

 

この場合、

 

Aさんの所得/総所得=Bさんの所得/総所得=・・・=0

 

唯一給与をもらった人の所得/総所得=1

 

という関係が成立します。

 

この場合、ローレンツ曲線は原点から(1,0)までの横軸と、(1,0)と(1,1)点を結んだ直線、すなわちアルファベットのLを裏返したような曲線となります。

 

この曲線のことを完全不平等線といいます。

 

ローレンツ曲線は、観測する対象の性質や観測方法により形状が変わるので、1本のローレンツ曲線から、所得分配の不平等度や一定のグループへの集中の度合いを決めることはできません。

 

むしろ、複数のローレンツ曲線を同時に描き、どの曲線がより45度に近いかを議論するためのものであると理解すべきでしょう。

 

この例は、所得分配に関するものです。

 

表は、総務省統計局「家計調査年報」にもとづいて作成された、2000年および2005年の勤労者世帯の所得分布です。

 

この度数分布表は、年間収入の低い値から順番に観測値を並べ替え、世帯数を10等分してグループ化し、第T階級、第U階級・・・と分類したものです。

 

この表をもとにして作成したローレンツ曲線が図です。

 

図より明らかなようない、2005年のローレンツ曲線は2000年のものに比べ、外側にあることがわかります。

 

したがって、2000年から2005年にかけて、所得分配がより不平等に変化していったことがわかります。

 

一方こちらの例は、人口集中に関するものです。総務省統計局の「社会生活統計指標」にもとづいて作成された、1995年および2005年の都道府県別に見た人口分布です。

 

この図は、まず各都道府県ごとの相対人口(日本全国の人口に対する各都道府県の人口の割合)と相対可住地面積(日本全国の可住地面積に対する各都道府県の可住地面積の割合)を算出し、次に、それを人口密度の低い順に並べ替え、横軸に累積相対人口、縦軸に累積相対可住地面積をとって作成したものです。

 

この図のように、ローレンツ曲線は45度線の下側ばかりでなく、軸の選び方により上側に位置することもあります。

 

このような場合も、以前と同様に、曲線が45度に近いほど平等で、逆に45度線から離れるほど不平等であると解釈されます。

 

図より、2005年のローレンツ曲線は1995年のものより外側に位置していることから、1995年から2005年にかけて、人口がある特定の都道府県へより集中していったことが読み取れます。

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