独立の概念と条件付き確率

統計学では「独立」という言葉がよく出てきます。

独立とは、簡単にいえば、２つのランダム現象があるとき、一方の結果がもう一方の結果に影響しない、という意味です。

たとえば、２つのくじびきがあるとき、一方に当たるともう一方に当たりやすくなるのであれば、この２つのくじびきは独立ではありません。

独立の概念は、正確には条件付き確率を使って定義されます。

今日、雨が降っているときに、明日も雨が降る確率は、ただ単に「明日雨が降る確率」とは異なるということは、日常生活でも実感できることです。

何かが起きるという情報が得られているときの確率が、条件付き確率です。

条件付き確率の定義

サイコロで、「３以下の目が出る確率」を図に表すことを考えます。

サイコロで、可能なすべての目は1,2,3,4,5,6の６通りで、これを集合Ω＝{1,2,3,4,5,6}で表します。

一方、３以下の目は1,2,3の３通りで、３以下の目が出るという事象をΩの内部にある集合A＝{1,2,3}で表します。

Ωのことを全事象といいます。

このとき、３以下の目が出る確率は、集合Aの要素が起きる確率なので、事象Aが起きる確率といい、P(A)で表します。P(A)は、集合Aの要素の数を｜A｜で表すと、

P(A)＝｜A｜／｜Ω｜＝3/6＝1/2

となります。

さらにもうひとつ、「偶数の目が出る確率」を考えます。

同様にして偶数の目は2,4,6の３通りで、これを集合Bで表すと、偶数の目が出る確率P(B)は、

P(B)＝｜B｜／｜Ω｜＝3/6＝1/2

となります。これらを目に見えるように表したのがベン図です。

では、「３以下かつ偶数の目が出る」確率を考えましょう。

この事象は集合A∩Bで表されますから、その確率P（A∩B）は、

P（B）＝｜A∩B｜／｜Ω｜＝1/6　となります。

ここで、｜A∩B｜／｜B｜という確率を考えてみましょう。

図の青いアミの入った部分です。

分母が｜Ω｜から｜B｜に変わっていますから、ここでは「偶数の目」がここでの「可能なすべての目」になっています。

一方、A∩Bは「３以下かつ偶数の目が出る」という事象ですが、今は「偶数の目が出る」という事象のなかでしか考えていませんから、この事象は単に「３以下の目が出る」という事象ということができます。

したがって、

｜A∩B｜／｜B｜＝偶数の目が出るとわかっているとき（偶数の目が出るのが確実なとき）、それが３以下である確率

になります。

これを、Bを条件とするAの条件付き確率といい、P（A｜B）で表します。

P（A｜B）＝｜A∩B｜／｜B｜＝1/3 ですから、偶数の目が出たという情報が得られているときは、そうでないときよりも「３以下の目が出る」確率は小さくなることがわかります。

ところで、

P（A｜B）＝｜A∩B｜／｜B｜＝（｜A∩B｜／｜Ω｜）／（｜B｜／｜Ω｜）
＝P（A∩B）／P（B）

と表され、これを条件付き確率の定義とする場合もあります。

ただし、この場合、分母・分子それぞれの確率は、いずれも同じ｜Ω｜を分母とする確率でなければならないことに注意する必要があります。

また、上の式から、

P（A∩B）＝P（A｜B）P（B）

となります。

この式を、確率の積の法則あるいは乗法定理といいます。

積の法則は、簡単にいえば、

「AとBの両方が起きる確率」＝「Bが起きたとしたときにAが起きる確率」×「ほんとうにBが起きる確率」

であるということを表しています。P（A｜B）とP（A∩B）の違いも、これでわかると思います。

複数の事象が独立のとき同時確率は積の法則

条件付き確率を説明したサイコロの例で、事象Aが「３以下の目」ではなく「２以下の目」だったらどうでしょう。

このときは「２以下の目が出る確率」P（A）＝1/3です。

一方、P（A∩B）＝1/6やP（B）＝1/2は変わりません。したがって、

P（A｜B）＝｜A∩B｜／｜B｜＝1/3 も変わりません。

したがって、このときはP（A｜B）＝P（A）となります。

このときは、事象Aが起きる確率と、事象Bが起きるとわかっているときに事象Aが起きる確率が同じです。

すなわち、事象Aが起きる確率は、事象Bが起きるかどうかに関係がないことを意味しています。

このとき、事象Aと事象Bは独立であるといいます。

数学や統計学でいう「独立」という概念は、物理的に独立に動作する、といったこととは関係ありません。

この例でも、事象Aと事象Bは、どちらも同じひとつのサイコロで起きています。

事象Bが起きるという情報がもたらされても、事象Aが起きる確率には影響がない、というのが、独立という意味です。

事象Aと事象Bが独立のとき、上式で表される積の法則は、

P（A｜B）＝P（A）ですから、

P（A∩B）＝P（A）P（B）

となります。

事象Aと事象Bが独立のとき、A,Bが同時に起きる確率は、それぞれが起きる確率の積になります。

事象Aと事象Bが独立のときにかぎり、こうなるのであって、いつもこうなるのではないことに注意しましょう。