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統計的推測と確率

統計的推測を理解するためには、確率の知識が必要です。

降水確率という言葉が、いまでは天気予報で普通に聞かれるようになりました。

降水確率80%とは、現在の状況と同様な天気図のパターンが現れる機会をたくさん想定すると、そのうち80%の場合に雨が降る、という定義になっています。

しかし、明日の降水確率が80%だから明日確実に雨が降るわけではなく、また降水確率が20%だから明日雨が降らないわけでもありません。

では、確率とは、結局何を意味しているのでしょうか。

頻度による確率の定義

いま、くじを引くと、当たりが出たとします。

現実世界では、くじはたしかに当たったのであって、それ以外の結果は現れていません。

しかし、私たちは、くじびきとはいつも当たるものではなく、いま現れている「当たり」は偶然による結果だということを知っています。

「偶然による」というのは、他の可能性もあった、つまり、偶然によって他の結果になるかもしれなかった、ということを意味しています。

この場合ならば、はずれが出るという可能性もあった、ということになります。

このような「結果が偶然によって決まる現象」をランダム現象といいます。

統計学の世界では、つねに、この「可能性の集合」を念頭において、考えを進めます。

この場合ならば、今は当たりという結果が現れたが、はずれが現れる可能性もあった、と考えているということです。

そして、さらに「どの結果が、どのくらい現れやすいか」を考えます。

これを数字で表したのが確率です。現れやすさというものを、どのように数字で表せばよいのでしょうか。

ひとつの考え方は、下のようなものです。

ある結果が現れる確率とは、
その結果が現れる可能性のある機会が、
これから十分多くの回数あるとき、
そのうち、ほんとうにその結果が現れる回数の割合である。

たとえば、くじびきを十分多くの回数行うとき、１０回に３回の割合で当たりが出るとすれば、「当たりが出る確率」は0.3であると考えます。

このように、確率とは、本来は「遠い将来までの十分多くの回数の機会」を考えたときにはじめていえる「結果の回数の割合」です。

ただ、それを「次にくじを引くと、当たる確率は0.3」のように、次に１回の機会にあてはめて述べています。

ここでいう「当たりが出る」などの具体的な「結果」を、確率論の言葉では事象といいます。

また、事象が起きる機会、この例ならば「くじを引くこと」を試行といいます。

また、このような確率の考え方を、頻度による確率の定義といいます。

確率とは、「特定の結果が起きる回数の割合」ですから、その値は０から１（０％から100％）の範囲になります。

しかし、この「定義」にある「これからその結果が現れる可能性のある十分多くの回数の機会があるとき」という言い方には、少々おかしなところがあります。
「これから」といっているように、確率は、未来のできごとについて述べています。

しかし、未来のことは神様しかわかりません。

過去の経験をもとに、未来も同じようなことが起きるだろうと期待するのは、たいていは妥当かもしれませんが、そういう想像が正しいかどうかは誰にもわかりません。

大数の法則

「十分多くの」といっていますが、何回なら十分多いのでしょうか。

数学でいう十分多いとは、誰もが納得するほど多く、しかも納得しない人がいたらすぐに増やすことができる、という意味です。

仮に、１０万回くじを引くことにして、ほとんどの人が「それは十分多い」と納得したとします。

しかし、一人でも「いや、それでは十分多いとはいえない」という人がいたら、その人の求めに応じて、では１０万１回に増やしましょう」というように増やせるのが「十分多い」の意味です。

もちろん、現実にはそんなことはできません。

つまり、上で述べた定義は、確率とは何かを述べてはいますが、それが実際に測れるとは言っておらず、むしろ「実際には測れない」ことを示しているのです。

しかし逆にいえば、過去の経験を未来にも延長できると認めて、数学でいう「十分多く」ではなくても「かなり多く」と認めるくらいの試行を行えば、確率を推測することはできます。

なぜならば、試行の数を何度も増やしていくと、そのうち問題にしている事象が起きる回数の割合は、その事象が起きる確率に近づいていくからです。

このことを大数の法則といいます。