回帰直線の式

回帰直線を数式で表すことを試みましょう。

ここで、高校で習った数学の、横軸Ｘと縦軸Ｙのグラフ上の直線は、

y＝a＋bx

の形の１次式で表されることを思い出してみましょう。

この式において係数a, bの値を変えれば、どんな直線でもグラフ上に表すことができます。

この式が回帰直線を表しているときには回帰式と呼ばれます。

そして、回帰式を用いる分析手法が回帰分析です。

式の中の文字記号の意味は次の通りです。

�@aの値：　回帰直線と縦軸との交点におけるｙの大きさを表しており、回帰定数と呼ばれます。

�Abの値：　回帰直線の傾きを表しており、回帰係数と呼ばれています。

横軸のｘの値が１だけ増えたときにｙの値がbだけ増えます。もし、ｘが増えたときにｙが減少すれば、bの値はマイナスとなって、回帰直線は右下がりになります。

この回帰直線は、グラフの各点の散らばりの中心を縫うように引かれます。

定規をあてて、目安法で引けないことはないですが、精確には計算によって引く必要があります。

なお、目安（めやす）という言葉は「仕事に目安をつける」というときは先の見通し、見当という意味でしょうが、おおよその見当で、ええいと線を引く意味で用いることができます。

回帰定数aおよび回帰係数bの計算

回帰直線を求めるということは、式中の回帰定数a、回帰係数bの値を計算によって決定することです。

計算式のみ示せば次のようになります。

回帰係数　b＝Sxy/SSx

回帰定数　a＝ym−bxm

すなわち、まず回帰係数の方は、変数ＸとＹの偏差相乗和を、変数Ｘの偏差平方和で割って求めることができます。

次に、この回帰直線が点グラフの中心（各変数の平均値の座標）を通るものとすれば、そこの点ではym＝a＋bxm　が成立します。

したがって、この式に、既に得られたbの値を代入することによって、回帰定数aが求められます。

計算例

世帯員数と購入量の回帰について、実際のデータで計算してみましょう。

まず、10世帯についての個別データおよびそれにもとづく計算結果は次のようになります。

したがって、求める回帰直線の回帰式は次のように表すことができます。

回帰式　y＝20.84＋8.79x

この回帰直線は、縦軸とy＝21の箇所で交わっており、また世帯員数ｘが１増えるごとに購入量ｙはほぼ9ずつ増えることを示しています。