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統計的仮説検定と背理法

統計的仮説検定というのは、治療効果があるかどうかを統計的に判断するための１つの方法です。

統計的仮説検定は一種の背理法です。

そもそも背理法とは何でしょうか。

例えば以下の例：

妻から浮気の容疑をかけられました。ある日、ママ友から妻のところに、大阪市内で私らしき人がきれいな女の人と仲良さそうに歩いているのを見かけた、浮気の疑いあり、との通報があったというのです。

浮気をしていないことの証拠を出すのは難しいですよね。

そこで、浮気をしていないことを証明するために次のようなロジックを考えます。

仮に、私が浮気をしていたとしましょう。

だとすれば、その日に大阪市内にいたはずです。

だから、その日に大阪市内にいなかったことが証明できれば、浮気をしていなかったと言えるわけです。

これが背理法です。「浮気をしていない」ことを証明するために、わざわざ逆の「浮気をしている」という仮説を立てて、それを否定することにより、浮気をしていない、と証明するわけです。

注意しなければならないのは、もし仮に、私がその日に大阪市内にいたとしても、それがすなわち浮気の証拠にはならないということです。

私が大阪市内にいたのは事実だとしても、大阪市内には多くの人がいるので、ママ友が見た人が私であるという確証はないのです。

他人の空似かもしれません。

ストレートに証明しづらい場合は、逆の否定したい仮説を立てて、それを否定することを考えるわけです。

統計的仮説検定は、この背理法の原理を応用しています。

統計的仮説検定と背理法

では、統計的仮説検定では、いったいどのように背理法の原理を応用しているのでしょうか。

薬を飲むグループと飲まないグループを比較するランダム化研究では、（平均的に）薬に効果があることを証明したいわけです。

このことを証明するために、わざわざ逆の薬に効果がない、つまり「比較するグループのリスクに違いがない」という仮説を立てて、それを否定しようというわけです。

この「比較するグループのリスクに違いがない」という仮説のことを帰無仮説と言います。

注意しなければならないのは、大阪市内にいたからといって即浮気をしたと断定できないように、帰無仮説が否定できなかったからといって、「比較するグループのリスクに違いがない」（薬の効果はない）とは言えないということです。

統計的仮説検定は、科学研究や実験において治療や介入の効果を統計的に評価するための基本的な手法であり、背理法の原理を応用しています。背理法とは一見難しく感じるかもしれませんが、実際には非常に直感的な論理を用いた証明法です。背理法では、ある命題を直接証明するのが難しい場合に、その命題の逆の仮説を立て、その仮説が矛盾を生むことを示すことで元の命題を証明します。具体例を見てみましょう。ある夫が浮気の疑いを妻からかけられたと仮定します。妻のママ友が、大阪市内でその夫と見られる男性が他の女性と親しげに歩いているところを目撃したと通報し、浮気の可能性があると告げたというシナリオです。ここで、夫は浮気をしていないことを証明しなければならなくなりました。しかし、浮気をしていないことを直接証明するのは難しいですよね。そこで夫は背理法を使います。まず、「浮気をしている」という仮説を立てます。もしこの仮説が真であるなら、夫はその日大阪市内にいたはずです。しかし、夫がその日に大阪市内にいなかったことを証明できれば、この仮説は矛盾を生むため、浮気をしていないことが証明されることになります。このように、逆の命題を立ててその命題が矛盾することを示すことで、元の命題を証明するのが背理法の基本的な考え方です。ところで、ここで注意しなければならない点もあります。仮に夫がその日に大阪市内にいたとしても、それだけでは浮気をしたという決定的な証拠にはなりません。大阪市内には多くの人がいて、そのママ友が見た男性が本当に夫であったという確証があるとは限らないからです。これと同じように、統計的仮説検定でもある程度の不確実性が残る場合があります。では、統計的仮説検定がどのように背理法の考え方を応用しているのかについて説明します。仮説検定では、研究者が治療や介入の効果を示したいときに「薬には効果がある」という主張を立証したいとします。しかし、これを直接証明するのは難しいため、まず「薬には効果がない」という仮説、すなわち帰無仮説を立てます。この帰無仮説を統計的に検証し、もしデータが帰無仮説を否定する十分な証拠を提供すれば、「薬に効果がある」と結論づけることができます。たとえば、薬の効果を調べるためにランダム化研究を行う場合、治療群（薬を飲むグループ）と対照群（薬を飲まないグループ）の結果を比較します。帰無仮説は「治療群と対照群の間にリスクの差はない（薬に効果はない）」というものです。統計的な検定手法を用いて、もしこの仮説がデータによって支持されないことが明らかになると、「薬には効果がある」という結論を得ることができます。ここで重要なのは、帰無仮説が支持されなかったからといって即座に「薬に効果がある」と断定するのではなく、「効果がある可能性が高い」と判断することです。これは先述の例で、大阪市内にいたとしてもそれだけで浮気をしたと断定できないのと同じで、帰無仮説が否定されなかったからといって効果がないと決めつけることもできないのです。これには偽陽性や偽陰性のリスク、つまり誤検定の可能性が含まれます。たとえば、帰無仮説が真であるにもかかわらずそれを否定してしまうタイプ�Tエラー（偽陽性）や、帰無仮説が偽であるのにそれを受け入れてしまうタイプ�Uエラー（偽陰性）があるのです。これらのエラーを考慮に入れたうえで、統計的な有意性を評価するためのp値を使用します。p値は、帰無仮説が真であるという前提のもと、観察されたデータが得られる確率を示します。一般的にp値が小さいほど帰無仮説が支持されない証拠とされ、例えばp値が0.05未満であれば「統計的に有意」とみなされます。しかし、この閾値は実際の科学的な証拠の絶対的な裏付けではなく、誤検定のリスクを低減するための基準として使われています。このように、統計的仮説検定は非常にパワフルな手法であるものの、使用時には解釈の誤りに注意が必要です。薬の効果を証明するために帰無仮説を立て、それを否定することで効果を示すというアプローチは、確かに科学研究における強力なツールですが、背理法の本質的な限界、つまり証明が「効果がないことを示せない」場合の取り扱いや誤差の存在も考慮に入れる必要があります。したがって、統計的仮説検定は、研究結果を解釈する上で一つのステップとして理解し、他のデータ分析や補完的な情報と組み合わせて慎重に評価することが望まれます。