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カテゴリデータの相関統計量ファイ

２変数の関連を測る最も一般的な尺度であるピアソンの相関係数には、少なくとも間隔レベルで測定した変数が必要である。

しかし、カテゴリデータや順序尺度データの関連に関する複数の尺度が開発されており、ピアソンの相関係数と同様に解釈する。

多くの場合、このような尺度は統計ソフトウェアパッケージやオンライン電卓を使って求めるが、手動で計算することもできる。

ピアソンの相関係数と同様に、相関統計量は関連だけの尺度であり、因果関係に関する見解は相関係数だけでは立証できない。

このような尺度が大量にあり、その一部は複数の名前で知られている。

ここでは最も一般的な尺度のいくつかを説明する。

新しい統計ソフトウェアパッケージを使っている場合には、そのパッケージでサポートされている尺度を確認し、多くの相関統計量があるのでデータに適した尺度を調査するのがよい。

二値変数関連度尺度ファイ

ファイ(φ)は、２つの二値変数(2カテゴリ変数。変数は２つの値のどちらかだけを取れる)の関連度尺度である。

ファイは２×２の表に対して計算する。

クラメールのＶは、２×２より大きい表に対するファイに似ている。

ファイを求める式を以下に示す。

ファイ統計量の式

喫煙と肺癌のデータに対するファイは、以下式に示すように計算する。

ファイ統計量の計算

ファイは、以下式に示すようにカイ2乗統計量をｎで割り、その結果の平方根を取ることでも計算できる。

ファイ統計量の別の式

なお、最初の計算方法では結果は正と負のどちらにもなり得るが、２つ目の方法ではカイ2乗統計量が常に正なので正にしかなり得ない。

２つ目の式を使って求めたカイ2乗統計量を使ったファイの値は、最初の式を使って求めた値の絶対値と考えられる。

これは以下表のデータを考えると明確になる。

ファイの例

最初の方法でファイを計算すると- 0.33となり、２つ目の方法では0.33となる。

これは統計コンピュータパッケージやオンライン電卓を使うか、手動で計算を実行すれば確認できる。

もちろん、２つの列の順序を変えたら、どちらの方法を使っても正の結果が得られる。

列に自然順序がなければ(例えば、色などの順序付けのないカテゴリを表す場合)、関連の方向は気にせずに、絶対値だけを求めたい。

別の例としては、例えば列が疾病の有無を表す場合がある。

後者の場合には、表内のデータの並べ方に注意し、誤解を招く恐れのある結果を生み出さないようにする必要がある。

ファイの解釈は、ピアソンの相関係数の解釈よりも複雑である。

ファイの範囲はデータの周辺分布に左右されるからである。

両方の変数が50-50に分かれていれば(一方が半分で他方が半分)、ファイの範囲は最初の方法を使うと(−1,＋1)、2つ目の方法を使うと(0,1)になる。

変数が別の分布の場合には、ファイの取り得る範囲は小さくなる。

この制約を念頭に置くと、ファイの解釈はピアソンの相関係数の解釈と似ているので、値-0.33は中程度の負の関係を示す(｢中程度の関係｣の絶対的定義はなく、この結果は研究分野によって大きいとみなされる場合もあれば小さいとみなされる場合もあることも覚えておいてほしい)。

クラメールのＶは、２×２より大きい表でのファイの拡張である。

クラメールのＶの式は、以下の式に示すようにファイの計算の２つ目の方法に似ている。

クラメールのＶの式

分母は､z（標本サイズ）に(r-1)と(c-1)の最小値（つまり、行数引く１と列数引く１の２つの値の最小値）を掛けたものである。

４×３の表では、この値は２になる（つまり、３−１)。

２×２の表では、クラメールのＶの式はファイの２つ目の式と同じである。

ｎが200の３×４の表のカイ2乗値が16.70であるとする。

このデータのクラメールのＶを以下式に示す。

クラメールのＶの計算