統計学におけるカイニ乗分布

カテゴリ変数で仮説検定を行うときには、結果が有意かどうかを評価する手段が必要である。

R×C表では、カイ2乗検定の１つを統計量として選ぶことが多い。

カイ2乗検定では、カイ2乗分布の既知の特性を利用する。

多くの検定統計量は帰無仮説が真の場合にカイ2乗分布に従うため、カイ2乗分布は有意性検定で広く使われる連続理論確率分布である。

計算された統計量を既知の分布に関連付けることができると、特定の検定結果の確率を簡単に求められる。

カイ2乗分布はガンマ分布の特殊な場合であり、パラメータを１つだけ持ち（k）、これは自由度を示す。

カイニ乗分布はすぐにわかるように2乗量の合計に基づいているため正の値しか持たず、右に歪んでいる。

形状は以下図に示した4つのカイ2乗分布のようにkの値によって変わり、kが低い値のときが最も極端である。

kが無限に近づくと、カイニ乗分布は正規分布に近づく（非常に類似するようになる）。

さまざまな自由度でのカイニ乗確率分布

カイ2乗分布表の棄却値の一覧から、調査結果が有意かどうかを判断できる。

例えば、α= 0.05とすると、自由度１のカイニ乗分布の棄却値は3.84である。

この値以上の検定結果は、２×２の表の独立性のカイ2乗検定で有意であるとみなされる。

なお、3.84 は 1.96の2乗であり、1.96はα= 0.05のときの両側検定でのＺ分布（標準正規分布）の棄却値である。

この結果は偶然ではなく、Ｚ分布とカイ2乗分布の数学的関係によるものである。

正式には、Ｘiが独立である場合、μ＝0、σ＝1の標準正規分布変数と確率変数Ｑは次のように定義される。

Ｑは自由度kのカイ2乗分布に従う。

覚えておくべき重要な点が２つある。

カイ2乗値を評価するには自由度を知る必要があり、一般に棄却値は自由度とともに増加する。

α＝0.05の場合、自由度１の片側カイ2乗検定の棄却値は3.84であるのに対し、自由度10では18.31になる。